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第十章群与环
主要内容
群的定义与性质
子群与群的陪集分解
循环群与置换群
环与域
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半群、独异点与群的定义
半群、独异点、群的实例
群中的术语
群的基本性质
群的定义与性质
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半群、独异点与群的定义

(1) 设V=<S, ∘>是代数系统,∘为二元运算,如果∘运算是可
结合的,则称V为半群.
(2) 设V=<S,∘>是半群,若e∈S是关于∘运算的单位元,则称V
是含幺半群,也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作
V=<S,∘,e>.
(3) 设V=<S,∘>是独异点,eS关于∘运算的单位元,若
aS,a1S,则称V是群. 通常将群记作G.
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实例
例1
(1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群,+是普通加
法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点
(2) 设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半
群,也都是独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵
乘法
(3) <P(B),>为半群,也是独异点,其中为集合对称差运算
(4) <Zn, >为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n1},
为模n加法
(5) <AA,◦>为半群,也是独异点,其中◦为函数的复合运算
(6) <R*,◦>为半群,其中R*为非零实数集合,◦运算定义如
下:x, yR*, x◦y=y
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例2 设G={ e, a, b, c },G上的运算由下表给出,称为Klein
四元群

e a b c
e
a
b
c
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
实例
特征:
1. 满足交换律
2. 每个元素都是自己的逆元
3. a, b, c中任何两个元素运算结
果都等于剩下的第三个元素
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有关群的术语
(1) 若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为无
限群. 群G 的基数称为群 G 的阶,有限群G的阶记作|G|.
(2) 只含单位元的群称为平凡群. 
(3) 若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群或阿贝
尔(Abel) 群.
实例:
<Z,+>和<R,+>是无限群,<Zn,>是有限群,也是 n 阶群.
Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群.
上述群都是交换群,n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法
构成的群是非交换群.
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设G是群,a∈G,n∈Z,则a 的 n次幂.

群中元素的幂
群中元素可以定义负整数次幂.
在<Z3,>中有23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在<Z,+>中有
(2)3 = 23 = 2+2+2 = 6
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元素的阶
设G是群,a∈G,使得等式 ak=e 成立的最小正整数
k 称为a 的阶,记作|a|=k,称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正
整数 k,则称 a 为无限阶元.
例如,在<Z6,>中,
2和4是3阶元,
3是2阶元,
1和5是6阶元,
0是1阶元.
在<Z,+>中,0是1阶元,其它整数的阶都不存在.
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群的性质:幂运算规则
设G 为群,则G中的幂运算满足:
(1) a∈G,(a1)1=a
(2) a,b∈G,(ab)1=b1a1
(3) a∈G,anam = an+m,n, m∈Z
(4) a∈G,(an)m = anm,n, m∈Z
(5) 若G为交换群,则(ab)n = anbn.
证(1) (a1)1是a1的逆元,a也是a1的逆元. 根据逆元唯一
性,等式得证.
(2) (b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e,
同理(ab)( b1a1)=e,
故b1a1是ab的逆元. 根据逆元的唯一性等式得证.
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群的性质:方程存在惟一解
G为群,a,b∈G,方程ax=b和ya=b在G中有解且
仅有惟一解.
例3 设群G=<P({a,b}),>,其中为对称差. 解下列群方程:{a}X=,Y{a,b}={b}
解 X={a}1={a}={a},
Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}
证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b) = (aa1)b = eb = b
所以a1b 是该方程的解. 下面证明惟一性. 
假设c是方程ax=b的解,必有ac=b,从而有
c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b
同理可证ba1是方程 ya=b的惟一