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如何购买高教出版社图书
-08-08 16:19
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技术上来说,格林函数,,伴随着一个在流形中作用的线性算子,为以下方程式的解
其中为狄拉克函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程:
若的核是非平凡的,则格林函数不只一个。不过,实际上因着对称性、边界条件或其他的因素,可以找到唯一的格林函数。一般来说,格林函数只需是一种数学分布即可,不一定要具有一般函数的特性。
格林函数在凝聚态物理学中常被使用,因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中,哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构,因此两者对应的格林函数也相当接近。
动机
若可找到线性算符的格林函数,则可将(1) 式两侧同乘,再对变量积分,可得:
由公式(2) 可知上式的等号右侧等于,因此:
由于算符为线式,且只对变量作用,不对被积分的变量作用),所以可以将等号右边的算符移到积分符号以外,可得:
而以下的式子也会成立:
因此,若知道(1) 式的格林函数,及(2) 式中的 f(x),由于 L 为线性算符,可以用上述的方式得到 u(x)。换句话说, (2) 式的解 u(x) 可以由(3) 式的积分得到。若可以找到满足(1) 式的格林函数 G ,就可以求出 u(x)。
并非所有的算符 L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3) 式的积分也很难求解,因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。
格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函数,则方程式 Lu = f 的解 u 为
可以视为 f 依狄拉克δ函数的基底展开,再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程。
[编辑] 非齐次边界值问题的求解
格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中,格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子(propagator),而“格林函数”一辞也用来表示量子力学中的相关函数。
[编辑] 研究框架
令 L 为一个施图姆-刘维尔运算子,是一个以以下型式表示的线式微分运算子
而 D 是边界条件运算子
令 f(x)