第二集运动学.doc

理论力学典型错解第二篇运动学题2-1杆AC沿槽以匀速向上运动,并带动杆AB及滑块B。若AB=,,滑块B沿滑槽滑动的速度。错误解答之一:取坐标系如图2-1所示。由几何关系有(1)将上式的时间求导数,有(2)所以因为,而当时,,所以有负号表示的方向与轴方向相反。图2-1错误解答之二:取坐标系如图-1所示,则由几何关系有物块B的运动方程为(3)铰链A的运动方程为(4)将式(3)、(4)对时间求导数,有(5)(6)由式(6),有(7)式(7)代入式(5),得代入,得错因分析:,所选取的坐标系原点与滑块B固结,故而该坐标系是移动的。题目要求滑块B沿滑槽滑动的速度,也即相对于地球表面的速度,滑槽即地球表面,故应选取与地球表面固结的参考坐标系。式(1)中的只是AC杆上一点O坐标系相对位置,既然不是与地面固结的参考系,它对时间的一阶导数就不是滑块B相对滑槽的速度,而是相对动坐标系的相对速度。,在所选的坐标系中,以式(3)作为滑块B的运动方程是错误的。因为在坐标系中,B点的坐标应取负值,即(8)正确解答:将式(8)对时间求一阶导数,有在坐标系中,A点的坐标为代入上式,得代入,则有滑块B的速度为其方向沿轴正向。题2-2从水面上方高20m的岸上一点A,用长为40m的绳系住一船B。今在A处以的均速拉绳,使船靠岸,求5s末船的速度是多少?在5s内船移动了多少距离。图图2-2错误解答:以船为研究对象。用绳拉船时,绳的速度为,故船的速度为[图2-2(b)](1)因(2)故有当时,有在内,不改变方向,时,,故此时间内船移动的距离为错因分析:确定船移动速度的式(1)是错误的,因为,虽然在A处以匀速拉绳,但系在船上的绳B端的速度方向随时改变,已不再是常矢量了。式(1)中将其作为常矢量在水平方向投影,并以此方法求得的船的速度是错误的。为了说明式(1)的错误原因,设船在时间内位移为,同时绳索减短,如图2-2(c)所示,近似地认为⊥,则当时对上式求极限,则有而,所以而不是式(1)的正确答案:取坐标系如图2-2所示,则船的坐标为上式对时间求导数得船的速度为当时船的速度为负号表示速度方向与轴正方向相反。当时,当时,之内船不改变速度方向,故在此时间内船移动的距离为题2-3在图示机构中,曲柄OA转动的角速度为,角加速度为,且有。试求D点的速度、加速度和轨迹。错误解答:因曲柄、、均作定轴转动,且彼此平行,故它们的角速度、角加速度均相同。又因三角板CDE绕转动,故D点的速度和加速度分别为D点的轨迹为以为半径、以为圆心的圆。错因分析:上解错误之处在于没有认出杆AB、三角板CDE均作平动,而误认为三角板CDE绕轴转动,误认为D点的轨迹为以r为半径、以为圆心的圆。正确解答:因,故杆AB作平动,于是有又因做定轴转动,且给知,故有因故三角板CDE作平动,于是D点的速度和加速度分别为因为刚体上各点轨迹相同,故D点的轨迹与C点的轨迹相同,同为半径为的圆,但圆心位置各不相同,C点轨迹以为圆心,而D点轨迹则是为半径,圆心在D点正下方距D点处。题2-4杆AB在铅垂方向以匀速沿滑槽向下运动,并由B端的小轮带动半径为R的圆弧杆OC绕O轴转动,如图2-4所示。设运动开始时,试求此后任意瞬时t,圆弧杆OC的角速度和C点的速度。错误解答取坐标轴如图2-4所示。因为杆AB的速度向下,故知圆弧杆OC绕O轴反时针转动,其角速度为。B点的坐标为上式对时间求导数,有其中为圆弧杆OC的角速度,故有所以而C点的速度则为由几何关系,有于是,C点的速度为错因分析:上解中认为是错误的。因为题设的正转向为顺时针,而当杆AB向下运动时,圆弧杆的角速度为反时针转向,故应为正确解答:将上解中,以代人,即得正确结果的方向与转向一致。题2-5在图示机构中,齿轮1固结在杆AC上,。齿轮1和半径为的齿轮2相啮合,齿轮2可绕轴转动,且和曲柄没有联系。若,试确定时,轮2的角速度和角加速度。错误解答:因为,所以两杆角速度、角加速度相同,即又因为,所以A、B两点的速度及加速度相同,即因作定轴转动,所以,D点的速度和加速度分别为(1)于是,有(2)(3)轮2的角速度、角加速度分别为(4)(5)当时,则有(6)(7)错因分析:上解中没有认出杆AC和轮1均作平动。因为AC与轮1固结一起,且有,,故杆和轮1固结的刚体ABC作平动。同时,上解中由式(1)、(2)、(3)所计算的D点的速度及切向加速度,是曲柄上在处的速度及切向加速度,并非齿轮1、2啮合点D的速度和切向加速度。但在计算轮2的角速度和角加速度时,却把曲柄上在处的D点,当成齿轮1、2的啮合点,显然是错误的。正确解答:’因为杆AC与轮l固结一起,且有,,故杆AC与轮1固结一起的刚体ABC作平动。平动刚体在同一时刻各点的速度及加速度均相