数一(考研数学历年真题)(1987-2004).pdf.pdf

1987 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 )
(1)当 x =_____________时,函数 x y ⋅= 2 x 取得极小值.
(2)由曲线 x y = ln 与两直线 x y −+ = 1 e 及 y = 0 所围成的平面图形的面积是_____________.
x = 1
z + 1 y + 2 x + 1
(3)与两直线 t y = + − 1 及= = 都平行且过原点的平面方程为_____________.
1 1 1
t z + = 2
(4)设 L 为取正向的圆周 y 2 x = 2 + 9, 则曲线积分) 4 ( xdy −) 2 + (2 x y dx xy − 2 = _____________.
∫ L
已知三维向量空间的基底为则向量在此基底下
(5) 3 = 2 = α 1 = (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1),ααβ= (2,0,0)
的坐标是_____________.
二、(本题满分 8 分)
2
1 x t
求正的常数 1 a 与 b , 使等式 lim dt = 成立.
∫ 0 2
xx x x → 0 bx − sin t a +
三、(本题满分 7 分)
∂ v ∂ u
(1) 设 f 、 g ), 为连续可微函数( + ), = , ( xy x g xyx v f , u = 求. ,
∂ x ∂ x
⎤ 1 ⎡ 0 3
⎥⎢
(2)设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB B = A 其中 A = , 0 1 1 求矩阵 B .
B =ABAB B = A + , 2 ⎥⎢
⎦⎥ 4 ⎣⎢ 1 0
四、(本题满分 8 分)
′′′求微分方程 y ′ a = 1 y + ) ′′+ y ′′′(9 + 6 2 的通解,其中常数 a > 0.
五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 ,只有一个符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内)
a f ) ( x f ) ( −
i , 1, (1)设 lim = −则在 a x = 处
a x →) a ( x − 2
(A) x f ) ( 的导数存在,且 a 0 f ) ′( ≠(B) x f ) ( 取得极大值
(C) x f ) ( 取得极小值(D) x f ) ( 的导数不存在
s
(2) 设 x f ) ( 为已知连续函数, ) ( tx f dx t , I = t 其中 s > t 0, > 0, 则 I 的值
∫ 0
(A)依赖于 s 和 t (B)依赖于 s 、 t 和 x
(C)依赖于 t 、 x ,不依赖于 s (D)依赖于 s ,不依赖于 t
∞ n k +
(3)设常数 k > 0, 则级数 1) ( − n
∑ 2
n = 1 n
(A)发散(B)绝对收敛
(C)条件收敛(D)散敛性与 k 的取值有关
(4)设 A 为 n 阶方阵,且 A 的行列式 0, | | A ≠= a 而 A * 是 A 的伴随矩阵,则| | A * 等于
1
(A) a (B)
a
(C) a n − 1 (D) a n
六、(本题满分 10 分)
∞ 1
求幂级数 n − 1 的收敛域,并求其和函数.
∑ n x
n = 1 n i 2
七、(本题满分 10 分)
求曲面积分
−− dzdx y yzdxdy , + dydz y 4 + x I ) 2(1 = ∫∫ 1) (8 2
∑
y ≤≤ y ⎪⎧− z = 3 1 1
其中∑是由曲线 x f ) ( = ⎨绕 y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 y 轴正向的夹角
⎩⎪ x = 0
π
恒大于.
2
八、(本题满分 10 分)
设函数 x f ) ( 在闭区间[0,1] 上可微,对于[0,1] 上的每一个 x , 函数 x f ) ( 的值都在开区间(0,1) 内,且
x f ′) ( ≠ 1,证明在(0,1) 内有且仅有一个 x , 使得 x . x f ) ( =
九、(本题满分 8 分)
问 a b , 为何值时,现线性方程组
4 x 3 x = 2 x + x + 1 + 0
4 x = x 3 1 + x 2 + 2
4 b = x 3 − x − a + − 2 x 2 3) (
1 4 ax 3 x