球的切接问题专题.doc

专题::球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为,球半径为。如图1,截面图为正方形的内切圆,得;2与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图2作截面图,圆为正方形的外接圆,易得。3正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图3,以对角面作截面图得,圆为矩形的外接圆,易得。,设点是内切球的球心,,,,在中,,即,得,得小结:正四面体内切球半径是高的,:即正方体的各顶点都在球面上。设长方体的棱长分别为a,b,c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系?2R联想正方体的外接球,过长方体的对角面的作截截面图a(4)结论:由图形(4)我们可以发现外接球的半径二、题型与方法归类例1、(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,,球的直径是正方体的对角线,所以有球的半径R=,则该球的表面积为S=4πR2=(2)-ABC的高,外接球的球心O在SO1上,设外接球半径为R,AO1=r,则在△ABC中,用解直角三角形知识得r=,从而SO1===,在Rt△AOO1中,由勾股定理得R2=(-R)2+()2,解得R=,∴V球=πR3=π()3=:1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积( C ) ,那么正方体的棱长等于( D )=πR3=,∴R=2,外接球直径为4,即正方体的体对角线,设棱长为a,则体对角线l=a=4,a=.半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________,体积为________.【解析】外切圆柱的底面半径为R,高为2R,∴S表=S侧+2S底=2πR·2R+2πR2=6πR2,V圆柱=πR2·2R=2πR3.【答案】 6πR2;2πR3例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点,OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,求球的体积与表面积。分析:通过将三棱锥补成长方体。这种方法叫作补形法。解:将三棱锥补成长方体,设外接球的半径为r,则,解得,所以球的表面积S=变式训练:如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AC=,则三棱锥P-:::把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切,:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,:四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点,,且三个球心