泰勒公式及其应用.doc

编号123456 毕业论文题目关于泰勒公式的证明及其应用学院数学与统计学院姓名123专业数学与应用数学学号123456研究类型基础研究指导教师123提交日期2012-5-24原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名:年月日论文指导教师签名:关于泰勒公式的证明及其应用***(******,数学与统计学院,**********)摘要:在数学分析中,泰勒公式是一个非常重要的内容,本文考虑了文献中给出的泰勒公式的另一种证明及其余项,并且介绍了泰勒公式在微分中的相关的应用,同时还探讨了泰勒展式以及解析函数的泰勒展式,:泰勒公式;余项;泰勒展式;微分TheProveofTaylorFormulaandIt’sApplication*******(**********,**************123456)Abstract:,:TaylorFormula;Remainder;TaylorExpansion; 10参考文献 12致谢 ,设它在点存在直至阶的导数,由这些导数构造一个次多项式=+++(1)称为函数在点处的泰勒展开式,=,.定理1(泰勒公式)若函数在点存在直至阶的导数,则有=+即=++++.(2)定理中(2)式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,(2).(3)其中.(4),其中为狄利克雷函数,,,若取时,(3)(3)式要求(即带有佩亚诺型余项)(2)在时的特殊形式为=++++.它也被称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林(Maclaurin)(Taylor)设函数在闭区间上有连续的阶导数,在区间内阶可导,则存在,,可以运用类似Lagrange定理的证明技巧,,且在开区间内二次可导现在,连接与两点的二次曲线,满足,;,则不难解出,其中,现作辅助函数,则有,在上对使用Rolle定理,便知,至少存在使得在对在上使用Rolle定理,便知至少存在一点,,,如果在上有连续的阶导数,在开区间内内阶可导,作连接与两点的阶多项式,满足,,,.不难解出,式中,作辅助函数,则在上有连续的阶导数,又在内阶可导,且,.对函数在上使用Rolle定理,便知至少存在一点,使得,再对函数在上使用Rolle定理,便知至少存在一点,使得,这样继续下去,直到第次使用Rolle定理,便知至少存在一点,,,,一般情况下,下面的结论是成立的:若函数与在上有连续的阶导数,在内次可导,且满足,,,.则至少存在一点,使得,则当时,取为一次函数,便得到Lagrange定理,在一般情况下,若取为前面提到的次多项式,,在