相似矩阵的定义
相似矩阵的性质
利用相似变换将方阵对角化
第三节相似矩阵
称为对A进行相似变换
设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似
其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。
对 A 进行运算
一、相似矩阵的概念
定义
(1)自反性 A~A
(其中 k 是正整数)
(5)若A~B ,
(2)对称性若A~B,则B~A
(3)传递性若A~B,B~C,则A~C相似
是关于A 的多项式
二、相似矩阵的性质
k个
(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;
而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积,
(1)式左端就相当于对A施行一系列的初等
行变换和列变换,因而秩不变.
(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则
相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
证
这表明A与B
有相同特征值
设 A与B 相似,
推论
定理6
特别地,若矩阵 A与对角阵Λ相似(P -¹AP = Λ),则
简化矩阵的计算
问题:
即如何将方阵 A 对角化
三、矩阵的相似对角化的条件
P 的列向量是与A相似的对角阵中相应对角元素的特征向量
线性相关性?
A与对角阵相似 A有n个线性无关的特征向量
反之?
关键是 P 可逆吗?
A 能否与对角阵相似取决于
A 能否有 n 个线性无关的特征向量
且相似变换阵 P
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