泰勒公式及其应用论文).doc

摘要文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性,对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析,;佩亚诺余项;拉格朗日余项;不等式;根的唯一存在性;极值;,促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究,特别是泰勒,笛卡尔,费马,巴罗,,对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式,若函数在点存在直至阶导数,,泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具,集中体现了微积分“逼近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势,利用它可以将非线性问题化为线性问题,并能满足很高的精确度要求,,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、,借助泰勒公式的广泛应用,将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去,,则有(1)=0时,(1)式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的),则,(2)这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)=0时,(2)式变成称此式为(带有拉格朗日余项的):....,(介值定理)设函数在闭区间上连续,且,若为介于与之间的任何实数,则至少存在一点,,,,=1时,有,是的曲线在点处的切线(方程),称为曲线在点的一次密切,显然,切线与曲线的差异是较大的,=2时,有,是曲线在点的“二次切线”,,,接近程度越来越密切,,一类佩亚诺型余项,一类是拉格朗日型余项,它们的本质相同,,仅表示余项是比(当时),表示当时,用近似,误差(余项)(也可以写成).,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和,分别用泰勒展开式代替,:由,=于是,,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,,,,则带入泰勒公式,其中=3,得,,.,而且,,试求存在,:由于在的最小值不等于在区间端点的值,故在内存在,使,由费马定理知,.又,(介于与之间)由于,不令和,有,所以,当时,,而当时,,,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,,通常选取广义积分进行比较,在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值,从而简单地判定的敛散性(注意到:如果得收敛,则得收敛).:,因此,,即是的阶,而收敛,故收敛,,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,:因为,所以,所以,,,.:,,可得所以可得由任意性可得在足够小的区间上是凹向的再有c,d的任