合肥工大高数微分方程.doc

第十一章微分方程函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系,是研究现实世界运动规律的重要工具,但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时,要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的,但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式,这种关系式称为微分方程,对微分方程进行分析,找出未知函数来,这就是解方程。微分方程的基本概念定义1:称含有导数或微分的方程为微分方程,并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。如:二阶方程;一阶方程;三阶方程,等等讲方程,都是为了解方程,前两个方程不好解,第三个方程好解。解之,,方程两边三次积分,得方程的解(为任意常数)。当时,也满足方程。可见文档收集自网络,仅用于个人学习包括了所有的解的形式。则称它为通解。定义2:称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数,常数的个数恰好等于方程的阶数,则称此解为方程的通解;称不含任意常数的解为方程的特解。文档收集自网络,仅用于个人学习注1:通解与特解只是方程的两类解,一阶方程的解要么是通解,要么是特解注2:一阶方程的几种形式:一般形式:,从这个方程种有可能解出,也有可能解不出来;一阶显式方程:;对称形式:或文档收集自网络,仅用于个人学习注3:在一阶方程种,,有时可将看成函数,看做变量。第二节可分离变量方程定义1:称能改写为形式:的一阶方程为可分离变量方程。注:不是所有的方程都能这样,故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。定理1:若,,则的通解为证:(1)先证是方程的解。两边对求导,得,即故是方程的解(2)设是方程的任一解,则两边关于积分,得又是的一个原函数,是的一个原函数则,即在中所以,为的通解。注1:可分离变量方程的解法:先分离变量,再两边积分,即得通解。注2:用来确定通解中的任意常数的条件,称为方程的初始条件。求的通解,并求满足初始条件的特解。解:方程可变为,两边积分,得即为方程的通解。又,代入,得即满足初始条件的特解为求的通解。解:由,分离变量,得,两边积分,得,即为方程的隐式通解。二、可化为齐次方程的方程经变换将行如方程化为齐次方程。求的通解。解:令,则令即方程变为:,令代入,得,积分,得,由代回,得通解为:(其中为任意常数)第三节齐次方程一、齐次方程定义1:称能改写成形式:的微分方程为一阶齐次方程。我们下面来看看齐次方程解的情形:令,即,代入方程,得,分离变量,得两边积分,解出,再将回代,即得通解。求的通解。解:原方程可化为,令,即,代入方程,得,化简积分,得,将回代,得通解为二、可化为齐次方程的方程经变换将行如方程化为齐次方程。求的通解。解:令,则令即方程变为:,令代入,得,积分,得,由代回,得通解为:(其中为任意常数)第四节、一阶线性方程一阶线性微分方程定义1:称可转化为形式:(1)的方程为一阶线性方程;若,则(1)式称为一阶线性齐次方程;,(1)式称为一阶线性非齐次方程。文档收集自网络,仅用于个人学习下面我们来看看方程(1)的解的情形:先看齐次方程:(2)显然是可分离变量方程。得,两边积分,得(3)为一阶线性齐次方程(2)的通解。下面我们求(1)的解,由方程(1)和(2)形式的相似性,那它们的解也具有某种相似性。我们用一种常数变易法来求(1)的解:假设为非齐次方程(1)的解,代入方程,得文档收集自网络,仅用于个人学习则,积分,得则(4)即为方程(1)的通解。【例1】求的通解。解:由于为一阶线性非齐次方程,且,代入(4),得其通解为=[例2]求的通解。解:若将看成函数,作为变量,此方程不是一阶线性方程。故将看成函数,作为变量,则原方程化为:进一步化简,,为一阶线性方程,代入(4),得方程的通解为。贝努力方程―可化为一阶线性方程的方程定义2:称形如:的方程为一阶贝努力方程。下面我们看看贝努力方程的解的情形:将方程变形为,令,则方程化为,为一阶线性方程,故可用上述方法求解,最后将代回,即得通解。【例3】求的通解。解:将方程变形,得,为贝努力方程。令,代入,利用(4),得,又,所以为原方程的通解。第五节全微分方程定义1:如果存在可微函数,使,则称微全微分方程。命题:(1)为全微分方程(2)的通解为,其中。【例1】求的通解。解:令,由于,故方程为全微分方程所以二、可化为全微分方程的方程―积分因子定义2:设不是全微分方程,如果存在可微函数使为全微分方程,则称为原方程的积分因子。注:积分因子不唯一,而且一般也没有什么固定的方法求解积分因子,故只有多积累才能有效的解题。【例2】(1);(2)解:(1)(2)第六节可降阶的高阶微分方程定义1:称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程。一、―连续积分n次即得其通解。【例1】连续积分两次,得,二、―跟标准形式相比,缺少。令,则,则,设其通解为则,两边积分