算法合集之《生成树的计数及其应用》.doc

生成树的计数及其应用
安徽周冬
目录
生成树的计数及其应用 1
目录 1
摘要 2
关键字 2
问题的提出 2
[例一]高速公路(SPOJ p104 Highways) 2
[分析] 2
预备知识 2
排列 3
行列式 4
新的方法 7
介绍 7
证明 9
理解 12
具体应用 12
[例二]员工组织(UVA anising anisation) 13
[分析] 13
[例三]国王的烦恼(原创) 13
[分析] 14
总结 14
参考文献 14
摘要
在信息学竞赛中,有关生成树的最优化问题如最小生成树等是我们经常遇到的,而对生成树的计数及其相关问题则少有涉及。事实上,生成树的计数是十分有意义的,在许多方面都有着广泛的应用。本文从一道信息学竞赛中出现的例题谈起,首先介绍了一种指数级的动态规划算法,然后介绍了行列式的基本概念、性质,并在此基础上引入Matrix-Tree定理,同时通过与一道数学问题的对比,揭示了该定理所包含的数学思想。最后通过几道例题介绍了生成树的计数在信息学竞赛中的应用,并进行总结。
关键字
生成树的计数 Matrix-Tree定理
问题的提出
[例一]高速公路(SPOJ p104 Highways)
一个有n座城市的组成国家,城市1至n编号,其中一些城市之间可以修建高速公路。现在,需要有选择的修建一些高速公路,从而组成一个交通网络。你的任务是计算有多少种方案,使得任意两座城市之间恰好只有一条路径?
数据规模:1≤n≤12。
[分析]
我们可以将问题转化到成图论模型。因为任意两点之间恰好只有一条路径,所以我们知道最后得到的是原图的一颗生成树。因此,我们的问题就变成了,给定一个无向图G,求它生成树的个数t(G)。这应该怎么做呢?
经过分析,我们可以得到一个时间复杂度为O(3n*n2)的动态规划算法,因为原题的规模较小,可以满足要求。但是,当n再大一些就不行了,有没有更优秀的算法呢?答案是肯定的。在介绍算法之前,首先让我们来学习一些基本的预备知识。
预备知识
下面,我们介绍一种重要的代数工具——行列式。为了定义行列式,我们首先来看一下排列的概念。

排列
定义1 由1,2,…,n组成的一个有序数组i1i2…in称为1,2,…,n的一个排列。
由排列的定义可知,i1,i2,…,in表示了n个不同的自然数,同时i1,i2,…,in中的每个自然数都是集合Sn={1,2,…,n}中的一个元素,换句话说,
定义了集合Sn到自身上的一个一一对应。这个一一对应可以用符号
记之,称为置换,而上述一一对应可以改写为
其中j1j2…jn是1,2,…,n的一个排列。所以这个一一对应也可以用符号
记之,因此对1,2,…,n的任一排列j1j2…jn,可定义
任取一个排列i1i2…in,将其中两个相邻的自然数ij-1,ij对换一下,便造出一个新的排列i1i2…ij-2ijij-1 ij+1…in,称为原来排列的对换排列,这样一种步骤成为对换。显然,对于任何一个排列经过若干次对换后都可以变成标准排列12…n。不过,不管经过什么途径作对换,在给定排列i1i2…in后,关于对换的次数有下列重要定理。
定理1 将任意一个排列i1i2…in通过对换变成标准排列12…n,所需的对换次数的奇偶性与对换方式无关。
利用这个定理,我们引入
定义2 一个排列i1i2…in称为偶(奇)排列,如果有一种方式,经过偶(奇)数次对换后,可以将排列i1i2…in变为标准排列12…n。
设排列i1i2…in经过t次对换后变为标准排列12…n,则数值(-1)t和对换方式无关。将它改写成,即
n个确定自然数1,2,…,n的排列,可以看作是集合Sn={1,2,…,n}到自身上的一个一一对应。将这个概念推广,任取n个元素的集合S={a1,a2,…,an}。对于集合S到自身上的一一对应
称为的一个排列。容易看出,是的排列的充要条件是i1i2…in是1,2,…,n的排列。
同样,排列变为标准排列的对换总次数的奇偶性和对换方式无关,因此引入符号
其中t是某一种将变为的对换方式的对换总次数。
下面我们介绍行列式。
行列式
一阶行列式是一个变量a11的函数det(a11)= a11,也可以改写成为
二阶行列式是四个变量a11,a12,a21,a22的函数,也可以改写成
三阶行列式是九个变量aij(i,j=1,2,3)的函数
,同样可以改写成为

通过观察一、二、三阶行列式的定义,我们得出了n阶行列式的一般定义。
定义3 n阶矩阵A的行列式是一实数,记作detA,它定义为
行列式有下列几种常用的符号:

由行列式的定义可知,利用定义