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钟摆旋转运动模型
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简谐运动Simple harmonic motion﹝原名直译简单和谐运动﹞是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。(如单摆运动和弹簧振子运动)
简谐运动的灵魂就是“回复力”,只要找到了一个简谐运动的回复力,就可以求解任何简谐运动的周期、频率以及其他特性。
钟摆模型
旋转运动:钟摆
写出如图所示单摆的运动方程,假设单摆的质量集中在摆的末端。
当输入的阶跃输入时,用MATLAB确定θ的时间关系曲线图假设。
课本上的例题讲解
我们熟悉的单摆模型
所谓的钟摆其实就是大家所熟悉的物理学中单摆模型的一个简单应用,我们先熟悉下单摆模的相关知识,以便更好理解钟摆的工作机理。如右图所示,就是一简单的单摆。
理想单摆的受力示意图
我们学物理中学过的是近似为简谐运动的单摆(除了小球重力产生力矩没有外加的力矩),我们根据物理知识得到:
由于θ很小有:
于是我们得到:
线性化的关键步骤
其中:
非线性项
钟摆模型
如图所示:一个简单的钟摆模型,与前模型不同的是这里多了个外部施加的力矩,由物理知识得到:
由于θ很小和前面原理一样公式可以变为:
两边同除以得:
同样用到了前面的方法来解决非线性问题!
上式中当等于0时,即没有外力矩也就是简谐运动时,可以得到固有频率为:
由式子得钟摆系统的传递函数为:
钟摆运动模型的传递关系得到了,可以用MATLAB仿真系统来模拟下!
式子中:
钟摆运动模型MATLAB的仿真实验
该传递函数的分子记为:
该传递函数的分母含有s的非零项的行向量记为:
b=[1 0 g/l ]=[1 0 ]
系统的时间响应由MALAB里的阶跃响应函数step获得。
MATLAB指令
得到时间关系曲线图
θ的时间关系曲线图