数学破题36计(17-20).doc

第17计化归开门江山一统●计名释义整数乘法有口诀:2×3=6,5×7=,那么分数在怎样作乘法呢?,原来是在进行“转化”,变成了分子分母上的整数乘法.化归思想,连小学生都在用,有一老师问学生:前100个偶数的和为多少?一学生回答:10100.老师问怎么来的?学生回答:由前100个自然数的和来的:2+4+…+200=2×(1+2+…+100)=2×5050=10100.这就是数学解题中的“化归法”,复杂向简单化归,陌生向熟悉化归,未知向已知化归。●典例示范【例1】已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+.【分析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列,但又看到其中既含等差数列又含等比数列:比如把递推式中的常数1去掉,则变成等比数列,,破题工作在化归上寻找入口:向等比(等差)数列转换.【解答】在递推式an+1=2an+1两边加1,化为(an+1+1)=2(an+1),数列{an+1}为等比数列,公比q=+1=2n-1(a1+1),即an=2n-1,且Sn=2n-n-1.【插语】本数列的一般形式为:an+1=kan+b(k≠0、1,b≠0),有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例,分别是k=1,或b=“常数匹配”可用待定系数法求得:设an+1+c=k(an+c)=kan+kcan+1=kan+kc-ckc-c=b,c=对于上题,b=1,k=2,因此解得c=1.【点评】化归开门体现在本题中:把我们不熟悉的“等差比数列”,实际上是an+1+c=bn+1=kbn.说来也很滑稽,对中学生来讲,不向“等比(等差)”化归,还有什么别的出路呢?【例2】已知三条抛物线y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条抛物线与x轴有交点,求实数a的取值范围.【解答】解答本题如果从正面入手,将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x轴有交点的三类七种情况加以讨论,,即考虑三条抛物线都不与x轴相交,则只要解下列不等式组:所以使得原命题成立的实数a的取值范围是a≤【点评】很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面,、补集法等体现的就是这种思想.【例3】已知a,b,c均为正整数,且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c,求的值.【解答】因为原不等式两边均为正整数,所以不等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价,这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0,故【点评】将等式与不等式对应转化,是转化数学问题常用的、有效的手段.●对应训练,b所成的角为,过不在a,b上的任意一点P作一条直线c,使直线c与直线a,b成相等的角θ,则θ的取值范围为()∈Φ∈{}∈[,]∈[,]=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p,q,则等于().(x)满足:对任意实数x,y都有f(x)+f(y)=,且当x<0时,都有f(x)>:●参考答案,就显得千头万绪.如右图所示,过直线b上任意一点A作直线a′∥a,a′与b确定平面a,把点P移动到A点,问题便转化为过A点作一条直线c′与直线a′,b所成的角均为θ,求θ的取值范围.易知当直线c′在平面a内时,第1题解图直线c′与a′,b所成的角最小为,当c′⊥a时,直线c′与a′,b所成的角最大为,故选D.(0,),然后由直线PQ的方程与抛物线的方程联立,求出p,q的值,运算过程繁杂,容易出错.若把一般性的PQ的直线方程转化为特殊性的方程,即取PQ与x轴平行的方程y=,,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果.(x)为奇函数,且当x>0时都有f(x)<入手,向题设条件转化:由于故有=再整体处理不等式左端数列的和有依题意,恒有,则故原不等式成立.点评本题融函数、数列、不等式为一体,正确解答本题的