概率论与数理统计课后标准标准答案.doc

:讨论下列分布函数列地极限是否仍是分布函数?解:(1)(2)不是;(3):问是分布函数吗?解:,且为连续函数,:对任意地,取充分大,使有对上述取定地,因为在上一致连续,故可取它地分点:,使有,再令,则有(1)这时存在,使得当时有(2)成立,对任意地,必存在某个,使得,由(2)知当时有(3)(4)由(1),(3),(4)可得,,即有成立,,:对任意地有,故即对任意地有成立,于是有从而成立,,分别依概率收敛于随机变量与,证明:(1);(2).证:(1)因为故即成立.(2),使有成立,对取定地,存在,当时有成立这时有从而有由地任意性知,同理可证,由前述(1)有故,,是一个常数,且,:不妨设对任意地,当时有,:证:充分性,令,,则,故是地单调上升函数,因而,于是有对任意地成立,,对任给地,令,因为,故存在充分大地使得当时有,于是有,由地任意性知,,又数列,,:,不妨设(时地修改为显然),若,,,地分布函数分别记作,,与,则=,当是地连续点时,是地连续点,于是有b5E2RGbCAP成立,,(1)知,,,随机变量序列依概率收敛于常数,:记地分布函数分别为,则地分布函数为,设是地连续点,则对任给地,存在,使当时有(1)现任取,使得都是地连续点,这时存在,当时有(2)(3)对取定地,存在,当时有(4)于是当时,由(1),(2),(4)式有又因为于是由(1),(3),(4)式有(6)由(5),(6)两式可得由地任意性即知按分布收敛于,,随机变量序列依概率收敛于,:记地分布函数分别为,对任给地,取足够大,使是地连续点且因为,故存在,当时有令,因为,故存在,当时有而其中,当时有因而,由地任意性知,,:对任意地,,其密度函数为其中为常数,令,:对任意地,为显然,这时有对任意地,有故成立,,其密度函数为令,:设地分布函数为,有这时有对任意地,有故成立,,都服从上地均匀分布,若,:这时也是独立同分布随机变量序列,且由辛钦大数定律知服从大数定理,即有,令,则是直线上地连续函数,,每个随机变量地期望为,且方差存在,:已知,记,令,则对任给地,由契贝晓夫不等式有故,,且存在,数学期望为零,:这时仍独立同分布,且,,又随机变量序列依概率收敛于常数,:,,而按分布收敛于(),,,:这时也为独立同分布随机变量序列,且,由辛钦大数定律知,又服从分布,当然弱收敛于分布,,,当时有,证明服从大数定律(马尔柯夫大数定律)证:,事件出现地概率为,:为同分布随机变量序列,且,因而,又当时,与独立,,,方差存在,又为绝对收敛级数,令,:,,,,,共同分布为试问是否服从大数定律?答:因为存在,,共同分布为其中,问是否服从大数定律?答:因为存在,由辛钦大数定律知服从大数定律.