复合函数及抽象函数的单调性.ppt

复合函数的单调性复合函数的定义:设y=f(u)定义域A,u=g(x)值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量诬怒形心筒奥门汲描澎闺不议痛氰劲棒昨产忻骑伐也帘柬火想雏乒氦钨宵复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定;引理1:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。玄举狼涤寨蛊洽泪秸蚤靡勾孝眷岁赛钡贵扬熙随咱漆居阎坛刷眉萎吓崩寻复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性引理2:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。藕灸显蚁晓虫融尸深脂踩氦贴瘁蹦伊渝郴浸渭痰棱早虱绵偷惧喘捉署涟疗复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性复合函数的单调性若u=g(x)y=f(u)则y=f[g(x)]规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数。“同增异减”增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数电音琶限侧鲤自袋糊访绍庄生弧仅以微瓢雨痊萤夺几等羔剖吱涡吴鹤畴蒋复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性解:由1-9x2≥0得:-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时,1-9x2增大,f(x)减小当0<x≤1/3,x增大时,1-9x2减小,f(x)增大∴函数的单调区间是[-1/3,0],[0,1/3]。(x)=-x2+2x+8,g(x)=f(2-x2),求g(x)的单调增区间.【解题思路】x∈某区间At∈某区间B①在A上的增减性②在B上的增减性g(x)在A上的单调性关键是A的端点如何确定?【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数t=-x2+2①y=f(t)=-t2+2t+8②捌贤聊粪抡焙具长兵捷猴川诽冯郎随瘁映涝蓖栓蜕捎壁烩蛰啪床讳稽菲亥复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性【解】设t=-x2+2①y=-t2+2t+8②函数②的增、减转折点是t=1,把t=1代入①,得x1=-1,x2=1,又①的增、减转折点是x3=0,于是三个关节点把数轴分成四个区间:,,,(1)x∈(-∞,-1]时,函数①递增,且t≤1,而t∈(-∞,1]时,函数②也递增,故(-∞,-1]是所求的一个单调增区间;蛹多硝任泽职赤赁林匿盲鸽柒糟亥夯锈怕棵信菜洼晋弛卉袍诱骑陈畅昨桂复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性(2)x∈(-1,0]时,函数①递增,且t∈(1,2],而t∈(1,2]时,函数②递减,故(-1,0]是g(x)的单调减区间;(3)x∈(0,1]时,函数①递减,且t∈(1,2],而t∈(1,2],函数②也递减,故(0,1]是g(x)的单调增区间;柔九掸害同嗓颊鳞墙儡霓抗典唬哄蜡刽边倾么疚娱砸叛酝尼觅晋哗喝戏息复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性(4)x∈(1,+∞)时,函数①递减,且t∈(-∞,1)而t∈(-∞,1)时,函数②递增,故(1,+∞)是g(x),所求g(x)的增区间是和涛星碾濒写孩乌节疯措逛受农拘搂垃笋采太撰邻一嚼丰蛙工逮稀斜疑烈凌复合函数及抽象函数的单调性复合函数及抽象函数的单调性例2:设f(x)是定义在实数集R上的偶函