2011年中考数学压轴题点评之(二).doc

2006年全国中考数学压轴题解析点评之(二)
6、(湖北咸宁卷)如图,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,.
(1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求点,的坐标;
(2)若过点的抛物线与轴相交于点,求抛物线的解析式和对称轴方程;
(3)若(2)中的抛物线与轴交于点,在抛物线上是否存在点,使的内心在坐标轴上?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)
3
5
若(2)中的抛物线与轴相交于点,点在线段上移动,作直线,当点移动到什么位置时,两点到直线的距离之和最大?请直接写出此时点的坐标及直线的解析式.
[解] 解法一:
(1)依题意,,
在中,.
.
而,
.
,,
,
点的坐标分别为.
解法二:(上同解法一)
.
设点的坐标为,
则.
在中,
,
,解得,
点的坐标分别为.
(2)设抛物线的解析式为,
抛物线过点,
解得
抛物线的解析式为.
对称轴的方程为.
(或用配方法:
对称轴的方程为.
(3)存在这样的点,使的内心在坐标轴上.
解法一:
①若的内心在轴上,设直线与轴相交于点,
,
,点的坐标为.
直线的解析式为.
解方程组得,.
点的坐标为.
②若的内心在轴上,设直线与轴相交于点,
,
,点的坐标为,
直线的解析式为.
解方程组得,.
点的坐标为.
综合①②可知点的坐标为或.
解法二:
①当的内心在轴上时,
设的坐标为,
,
过作轴于,.
,
.
点的坐标为.
②当的内心在轴上时,
设的坐标为,
,
过作轴于,.
,
,
.
点的坐标为.
综合①②可知,点的坐标为或.
(4)点的坐标为;直线的解析式为.
提示:
根据“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短”可知,当直线时,两点到直线的距离之和最大,.
[点评]此题是一道难得的好题,第1、2小题是常规题,有一定基础的学生均能较轻松的搞定,第3小题是结论存在性问题,又需分类讨论,较容易漏解,第4小题可能比较难,具体解题思路可参考提示。
7、(湖北宜昌课改卷)如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n<0)以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB==kx+m 交y轴于点F,FB==ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM⊥x轴,垂足为点M.
(1)求k的值;
(2)点A位置改变时,△AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由.
[解] (1)根据题意得到:E(3n,0), G(n,-n)
当x=0时,y=kx+m=m,∴点F坐标为(0,m)
∵Rt△AOF中,AF2=m2+n2,
∵FB=AF,
∴m2+n2=(-2n-m)2,
化简得:m=-,
对于y=kx+m,当x=n时,y=0,
∴0=kn-,
∴k=
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G,
∴
解得:a=,b=-,c=-
∴抛物线为y=x2-x-
解方程组:
得:x1=5n,y1=3n;x2=0,y2=-
∴H坐标是:(5n,3n),HM=-3n,AM=n-5n=-4n,
∴△AMH的面积=×HM×AM=6n2;
而矩形AOBC 的面积=2n2,∴△AMH的面积∶矩形AOBC 的面积=3:1,不随着点A的位置的改变而改变.
[点评]本题是比较传统的二次函数型综合题,第2小题是一个很典型的定值问题,考察学生的探究能力。
8、(湖北湛江课改卷)已知抛物线与轴相交于点,,且是方程的两个实数根,点为抛物线与轴的交点.
(1)求的值;
(2)分别求出直线和的解析式;
(3)若动直线与线段分别相交于两点,则在轴上是否存在点,使得为等腰直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
1 2 3 4
3
2
1
x
y
[解] (1)由,得.
,把两点的坐标分别代入联立求解,得
.
(2)由(1)可得,当时,,.
设,把两点坐标分别代入,联立求得
.直线的解析式为.
同理可求得直线的解析式是.
(3)假设存在满足条件的点,并设直线与轴的交点为.
①当为腰时,分别过点作轴于,作轴于,如图,则和都是等腰直角三角形,
,
O
x
y
D
E
F
.
,,
,即.
解得.
点的纵坐标是