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排列组合

一、特殊优先原则
该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置.
例1 甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,则可以排出不同的值班表有( )

解析:特殊元素优先考虑,甲同学不值周一的班,则先考虑甲,分步完成:①从除周一的5天中任取2天安排甲有种;②从剩下的4天中选2天安排乙有种;③,即选C.
评注:特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则,对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑.
二、先取后排原则
该原则充分体现了的精神实质,先组合后排列,从而避免了不必要的重复与遗漏.
例2 将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( ).

解析:先分组再排列:将4名教师分成3组有种分法,再将这三组分配到三所学校有种分法,由分步乘法计数原理知一共有种不同分配方案.
评注:先取后排原则也是解排列组合问题的总原则,:先从4名教师中取3名教师分给3所学校有种方法,再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择,则共有种分配方案,则有明显重复(如:甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙).因此,处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则.
三、正难则反原则
若从正面直接解决问题有困难时,则考虑事件的对立事件,从不合题意要求的情况入手,再整体排除.
例3 在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少取到1件次品的不同取法的种数是( )
A. B. C. D.
解析:从100件次品中取3件产品,至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品,即从94件正品中取3件正品有种取法,所以满足条件的不同取法是,,则必须分取到1,2,3件次品这三类,:,即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品,,第一步对第二步有明显影响,设次品为,正品为甲乙丙丁戊…则可以是AB甲,也可能是BA甲,因而重复.
评注:正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则,如果从正面考虑不易突破,,如当问题中含有“至少”,“最多”等词语时,易用此原则.

四、策略针对原则
不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略,不同的限制条件要采用不同的解题方法.
(整体法),相隔问题插空法
例4 某校高三年级举行一次演讲比赛,共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,,则一班的3位同学恰好被安排到一起(演讲序号相连),而2班的2位同学没有被排在一起的概率为( )
A. B. C. D.

解析:10人的全排列数是,:一班的3位同学相邻,而2班的2位同学不相邻,因此分步完成:
①把一班的3位同学看成一个整体,他们自