初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑷.doc

初一数学竞赛讲座第4讲整数的分拆整数的分拆,就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式,每一种表示方法,就是自然数的一个分拆。整数的分拆是古老而又有趣的问题,其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中,整数分拆的问题常常以各种形式出现,如,存在性问题、计数问题、最优化问题等。V3PPxVoC0s 例1电视台要播放一部30集电视连续剧,若要求每天安排播出的集数互不相等,则该电视连续剧最多可以播几天?V3PPxVoC0s 分析与解:由于希望播出的天数尽可能地多,所以,在每天播出的集数互不相等的条件下,每天播放的集数应尽可能地少。V3PPxVoC0s 我们知道,1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1,2,3,4,5,6,7时,那么七天共可播出28集,还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形,因此,这余下的2集不能再单独于一天播出,而只好把它们分到以前的日子,通过改动某一天或某二天播出的集数,来解决这个问题。例如,各天播出的集数安排为1,2,3,4,5,7,8或1,2,3,4,5,6,9都可以。V3PPxVoC0s 所以最多可以播7天。说明:本题实际上是问,把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时,最多能写成几项之和?也可以问,把一个正整数拆成若干个整数之和时,有多少种分拆的办法?例如:V3PPxVoC0s 5=1+1+1+1+1=1+1+1+2, =1+2+2 =1+1+3 =2+3 =1+4,共有6种分拆法<不计分成的整数相加的顺序)。例2有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚,用它们去支付2角3分。问:有多少种不同的支付方法? 分析与解:要付2角3分钱,最多只能使用4枚5分币。因为全部1分和2分币都用上时,共值12分,所以最少要用3枚5分币。V3PPxVoC0s 当使用3枚5分币时,5×3=15,23-15=8,所以使用2分币最多4枚,最少2枚,可有23=15+<2+2+2+2),23=15+<2+2+2+1+1),23=15+<2+2+1+1+1+1),共3种支付方法。V3PPxVoC0s 当使用4枚5分币时,5×4=20,23-20=3,所以最多使用1枚2分币,或不使用,从而可有23=20+<2+1),23=20+<1+1+1),共2种支付方法。V3PPxVoC0s 总共有5种不同的支付方法。说明:本题是组合学中有限条件的整数分拆问题的一个特例。例3把37拆成若干个不同的质数之和,有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘,得到的乘积中,哪个最小?V3PPxVoC0s 解:37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19V3PPxVoC0s =7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17,共10种不同拆法,其中3×5×29=435最小。说明:本题属于迄今尚无普遍处理办法的问题,只是硬凑。比37小的最大质数是31,但37-31=6,6不能分拆为不同的质数之和,故不取;再下去比37小的质数是29,37-29=8,而8=3+5。其余的分拆考虑与此类似。V3PPxVoC0s 例4求满足下列条件的最小自然数:它既可以表示为9个连续自然数之和,又可以表示为10个连续自然数之和,还可以表示为11个连续自然数之和。V3PPxVoC0s