初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑸.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse羀蚈蒇初一数学竞赛讲座薄芀膅第5讲与年号有关的竞赛题葿莈肁在数学竞赛中,常可以看到某些题目中出现了当年的年号,这类题我们称之为“年号题”。这类题趣味性强,时间性强,引起了参加竞赛的少年朋友很大的兴趣。gemkKm0pav薅蚃螇“年号题”一般可分成两类,一类是题目的条件中出现了当年的年号,另一类是题目答案中出现了当年的年号。下面我们分别举例说明这两类问题的解法。gemkKm0pav袈膈羆一、题目条件中出现年号的问题莃螁羅 ,如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等。gemkKm0pav芈衿肂例1将19到80的两位数顺次排成数A=19202122…7980。问:这个数A能否被1980整除?蒄肃膀解:由于1980=99×20,因此要考察A能否被1980整除,只需要考察A能否被99和20整除就行了。能被20整除是显然的。因为99除100的任何次方所得的余数都是1,所以A=19×10061+20×10060+…+79×100+80gemkKm0pav羁莅莆除以99的余数与B=19+20+…+79+80=99×31除以99的余数相同。因为99|B,所以99|A。于是A能被1980整除。gemkKm0pav薅节蚆例2用S<n)表示自然数n的各位数字之和,又n+S<n)=1999,求自然数n。莁膆袀芃莀芈 11x+2y=89。袀袆螅注意到x是奇数且x,y都是一位整数,不难求得x=7,y=6,从而n=1976。莄蚃莆例3在3×3的九宫格中,填上9个不同的自然数,使得每行三数相乘,每列三数相乘所得的6个乘积都等于P。试确定P能取1996,1997,1998,1999,2000,2001这6个数中的哪些值。gemkKm0pav艿薆羁解:所填的9个数应为P的9个不同约数,又P不能填入九宫格内,故P的不同约数的个数应不小于10。1996=22×499,有6个约数;gemkKm0pav蒆袁蚁 1997和1999是质数,各有2个约数;1998=2×33×37,有16个约数;虿莇蒈 2000=24×53,有20个约数;2001=3×23×29,有8个约数。芃膃袂显然P不能取1996,1997,1999和2001。当P=1998和2000时,有下图的填法<填法不唯一),故P可取1998和2000。gemkKm0pav肈肇肃芄节蝿例4有1999块边长为1的正方块,求满足下述条件的有盖箱子的尺寸:螁袇袈<1)长、宽、高均大于1;莆蒀蚃<2)将正方块放入箱子中时,能合上盖子,并且使空隙最小;芁薈袀<3)在保证<1)<2)的前提下,使箱子的表面积最小。膃螂袇解:由于1999是质数且2000=24×53,故空隙最小的箱子的体积应是2000。蚀莈莇表面积最小的箱子应是各边长相差尽量小的长方体。将2000分解成三个尽量接近的三个数的乘积是:2000=10×10×20,gemkKm0pav膄袁莃所以表面积最小的箱子的长、宽、高应为10,10,20。,它只不过是编制时仅仅用具体的年号数来代替n。对于这种情况要善于透过表面看本质,做过后要将特殊推广到一般。gemkKm0pav芆芃芀例5若两个不相等的自然数的倒数的和的一半等于,求这两个自然数。葿蝿螆解:设这两个自然数为x,y,且x>y。肃莂膃羈芅羃比较①②两式,取n=1999,有2x=1999×2000,2y=1999+1,膅蒀莈于是x=1999000,y=1000。莈肆膆例6有一张1949×2000的长方形方格纸,方格边长为1。问:这个长方形的一条对角线穿过多少个方格?gemkKm0pav膆袂袄解:由于1949与2000是互质数,故对角线在长方形内不经过任何一个格点。肁螆螀对角线与纵向的1950条线有1950个交点,与横向的2001条线有2001个交点。去掉重复计算的对角线两个端点,它与纵横线共有1950+2001-2=3949<个)交点,交点间有3948条线段,即对角线穿过3948个小方格。gemkKm0pav羃羁蚀例7有两个容器A和B,A中装有1升水,B是空的。先将容器A中的水的倒入容器B,然后将容器B中的水的倒入容器A,再将容器A中的水的倒入容器B…如此继续,这样倒了1999次以后,A中还有水多少升?gemkKm0pav蒀薆薅解:设an和bn分别表示倒了n次以后A中和B中水的升数,显然an+bn=1。肅莃薄列表观察如下:袀芇螁肆蒁衿荿羇艿说明:如果求倒了2000次以后,A中还剩多少水,那么可进一步计算如下:袃袄莅蝿螈袃例8从自然数列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,保留5的倍数<例如15,20都不划去)