牛方不等式证明技术方法doc.doc

螈不等式的证明方法螄牛方袁摘要:本文从微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、函数的凸性、等高等数学的层面对不等式证明方法进行归纳并列举相关实例加以说明。文档来自于网络搜索蒈关键词:微分中值定理泰勒公式函数的单调性凸函数芆Inequalityproofmethod薃Niufang羁Abstract:Thisarticlefromthemid-valuetheorem,Taylorformula,monotonicityoffunctions,functionastheconvexity,:Themid-valuetheoremsTaylorformulamonotonicityoffunctionsconvexfunction文档来自于网络搜索羈节前言肁不等式证明的基本方法很多,例如有比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法,但是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统归纳。本文从微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、函数的凸性、等高等数学的层面对不等式证明方法进行归纳等式证明方法进行归纳。文档来自于网络搜索芀1利用微分中值定理证明不等式蒆拉格朗日中值定理:在闭区间上连续;在开区间内可导。则在内至少存在一点,使得。莅柯西中值定理:在闭区间上连续;在开区间内可导;在内每一点处,则在内至少存在一点,使得:膁蒇利用微分中值定理证明不等式的基本思想:根据所要证明的特点,作出相应的辅助函数,而所作的辅助函数应满足拉格朗日定理或柯西中值定理条件,就可以得到满足拉格朗日定理或柯西中值定理条件的一点,即也得到相应的表达式,然后再对其进行放大或放小,这样就可证明不等式。文档来自于网络搜索膇例1设,证明不等式膄分析:构造辅助函数,运用拉格朗日中值定理芁证明:先证明不等式的左边,设,因为,在闭区间上连续,在开区间内可导,所以根据拉格朗日中值定理得:袇,薅,(注意到),,则,且芈由单调递增当时,莇特别地,令,则有,即,所以原不等式成立。羅例2设、在闭区间上连续,在开区间上可导,且。莁证明:当时,。薃分析:根据函数单调性和柯西中值定理蝿证明:因为,故单调增加蚈所以当时,,即,由、在闭区间上连续,在开区间上可导,且对区间内的每一点都有,由柯西中值定理得:蒄,羄从而得:蒁,莇故原不等式成立。,则对任一点,有:薄薂其中是与之间的某个数,上式称为按的冪展开的阶泰勒公式。薀下面就泰勒公式展开点的不同情况来证明不等式。:选区间中点展开是较常见的一种情况,然后在泰勒公式中取为适当的值,通过两式相加,并对某些项进行放缩,便可将多余的项去掉而得所要的不等式。文档来自于网络搜索羂设函数在区间上有二阶连续导函数且,试证:对于内的任意2个不同点和有肈。羇证明:将在处展开,得螄莃其中是与之间的某个数。螀上式中分别取及,螆,袄,螄上面两式相加,得:芈蝿因为,所以,即羃袁若把题目中的条件改为,而其余的条件不变,则结论改为羀薈肃设函数在区间上有二阶连续导函数,且,证明节,其中。蚂证明:将在处展开,得芇肃其中是与之间的某个数。蚃因为,所以有膀肆上式在作定积分,:当条件中出现,而欲证式中出现,,,展开点常选为区间两端点,,然后在泰勒公式中取为适当的值,消去多余的项,可得待证的不等式。文档来自于网络搜索膁例1函数在区间上二价可导,且,证明:在内至少存在一点使得艿袈证明:将分别在及处展开,得莃,,,,薁上式中取,得:羁,蚆,蚇上面两式相减,并且,得:羂葿记,其中或。虿于是有螇,莃即。:当题中不等式出现函数的极值或最值项,展开点常选为该函数的极值点或最值点。袆设函数在区间内二价可导,且存在极值及点,使得,试证明:至少存在一点,使得。袄证明:将在处展开,得虿,芇上式取,并且,得:羆,。羁两边同乘以,得:莁,羆因为,所以有。肆设函数在区间上有连续的二价导数,且,试证明:莂蝿证明设,若,则有,结论成立。聿下设,于是,且有,膆将在处展开得:螃,,薁即,螈于是有