行列式的一般定义和计算方法.doc

薃关于行列式地一般定义和计算方法腿n阶行列式地定义袇n阶行列式=膄蚃(1)薀N阶行列式是N!项地代数和;虿3、N阶行列式地每项都是位于不同行、不同列N个元素地乘积;羃特点:(1)(项数)它是3!项地代数和;蚃(2)(项地构成):羁(3)(符号规律)三个正项地列标构成地排列为123,231,;羆三个负项地列标构成地排列为321,213,132,§行列式地性质蝿性质1:=; 互换行列式地两行(列),:D==ad-bc,=bc-ad=-D薄以r表第i行, i,j两行记为r,交换i,.羂袀性质3:如果一个行列式地两行(或两列)完全相同,:把一个行列式地某一行(或某一列)地所有元素同乘以某一个常数k地结果等于用这个常数k乘这个行列式.(第i行乘以k,记作r)个人收集整理勿做商业用途薇推论1:一个行列式地某一行(或某一列):如果一个行列式地某一行(或某一列)地所有元素都为零,:如果一个行列式地某二行(或某二列)地对应元素成比例,:如果行列式D地某一行(或某一列)地所有元素都可以表成两项地和,那么行列式D等于两个行列式D1和D2地和.=+个人收集整理勿做商业用途薆性质6:把行列式地某一行(或某一列)地元素乘同一个数后,加到另一行(或另一列)地对应元素上,(列)地每个元素都是m个数之和(m>2),,如果它地元素满足:;试证:当n为奇数时,(或列)提出一个(-1),再转置得D=(-1)nD袆性质7行列式地某一行(列)地各元素与另一行(列):蚀按列:螆将性质7与Laplace定理合并为下列结论:蚅(1)蒁和(2)(n-1n-2…1n)等于,,证明::由知,即莀肅故行列式Dn可表示为螁莁由行列式地性质袇螃袁螁当n为奇数时,得Dn=-Dn,因而得Dn=,:这个行列式地特点是每行(列)元素地和均相等,根据行列式地性质,把第2,3,…,n列都加到第1列上,行列式不变,(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式地性质化简,使行列式中有较多地零出现,:对n阶行列式Dn找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1,Dn-2之间地一种关系——称为逆推公式(其中Dn,Dn-1,Dn-2等结构相同),:将Dn按第1列展开得聿蚄螄肀由此得递推公式:,-1倍加到第2行,把新地第2行地-1倍加到第3行,以此类推直到把新地第n-1行地-1倍加到第n行,(升阶法)芄加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,