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第一节函数一、(了解)设在某个变化过程中有两个变量和,变量随变量的变化而变化。当变量在一个非空实数集合上取某一个数值时,变量依照某一对应规则总有唯一确定的数值与之对应,则称变量是变量的函数,记为,其中叫做自变量,叫做因变量或函数。数集称为这个函数的定义域,记为或。当取定值时所对应的的数值或,称为当时,函数的函数值。全体函数值的集合称为函数的值域,记为或。(了解)函数不能用一个统一的公式表示出来,必须要用两个或两个以上的公式来表示,这类函数称为分段函数。形如:例如:就是定义在内的分段函数。(了解)函数与自变量的对应规则用一个方程表示的函数,称为隐函数。例如就是一个隐函数。(了解)二、(了解)设函数在区间内有定义,如果对于内的任意两点,若恒有,则称在区间内单调增加;若恒有,则称在区间内单调减少;若恒有,则称在区间内严格单调增加;若恒有,则称在区间内严格单调减少。:(了解)设函数的定义区间D关于原点对称(即若,则有)。如果对于定义区间内的任意点,恒有,则称为D内的偶函数;如果恒有,则称为内的奇函数。偶函数:奇函数:(了解)周期函数:,周期:T——(了解),三、:y=c,(c为常数):y=xn,(n为实数):(a>0、a≠1):,(a>0、a≠1):y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=:y=arcsinx,y=onxy=arctanx,y=otx四、(了解)由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数第二节极限一、:定义对于数列,如果当时,数列无限地趋于一个固定的常数A,则称n趋于无穷大时,数列以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作或(当时)称数列以常数A为极限;::⑴当时,的极限:⑵当时,的极限:(重点)左极限:右极限:⑶函数极限存在的充要条件:二、无穷大量和无穷小量1、无穷大量:称在该变化过程中为无穷大量。X在某个变化过程是指:2、无穷小量:称在该变化过程中为无穷小量。3、无穷大量与无穷小量的关系:定理:4、无穷小量的比较:⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量;⑵若(c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;⑶若,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理:若:则:三、夹逼性定理1、数列极限存在的判定准则:设:(n=1、2、3…)且:则:2、函数极限存在的判定准则:设:对于点x0的某个邻域内的一切点(点x0除外)有:且:则:四、极限的运算规则(重点)若:则:①②③推论:①②③五、两个重要极限(重点)、函数的边续性1、函数在处连续定义1设函数在点的某个邻域内有定义,如果当自变量的改变量趋于0时,相应的函数该变量也趋于0,即,则称函数在点处连续。定义2设函数在点的某个邻域内有定义,如果当时,函数的极限值存在,且等于处的函数值,即则称函数在点处连续。2、左连续、右连续定义设函数,如果,则称函数在点处左连续;设函数,如果,则称函数在点处右连续。3、函数在处连续的必要条件:定理:在处连续在处极限存在4、函数在处连续的充要条件:定理:5、函数在上连续定义如果函数在上每一点都连续,则称在内连续。如果在内连续,且在左端点处右连续,即;在右端点处左连续,即,则称函数在上连续。二、函数的间断点若在处不连续,则为的间断点。间断点有三种情况:1o在处无定义;2o不存在;3o在处有定义,且存在,但。三、函数在处连续的性质1、连续函数的四则运算设,1o2o3o2、复合函数的连续性(了解)则:3、反函数的连续性(了解)四、函数在上连续的性质1、最大值与最小值定理:在上连续在上一定存在最大值与最小值。2、有界定理:在上连续在上一定有界。3、介值定理:在上连续在内至少存在一点,使得:,其中:推论(零点定理):在上连续,且与异号在内至少存在一点c,使得:。:初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学第一节导数与微分一、,当自变量在处取得增量(点仍在该领域内)时,相应地函数y取得增量。如果当时,函数的增量与自变量的增量之比的极限存在,则称此极限值为函数在处的导数,并称函数在处可导,记作,,即。由于,则,当时也即,:右导数: 定理:在的左(或右)邻域上