ahp(层次分析法)示例说明.doc

AHP(层次分析法)示例说明(TheAnalgticHierarachyProcess----AHP)AHP预备知识为了更好地理解AHP,需要准备一些矩阵方面的知识,以下知识都可以从《线性代数》中找到。特征根与特征向量设为n阶方阵,若存在常数和非零n维向量,使得(1)则称,是矩阵A的特征根(或特征值),非零向量是矩阵A关于特征根的特征向量。特征根的求法由(1)得,这是一个n元一次线性齐次方程组,该方程组如果有非零解,则其充分必要条件为:系数行列式为零,即(2)称(2)式为矩阵A的特征方程,它是一个一元n次方程,由线性代数基本定理知,该方程有且只有n个根。重量模型设为n个物体,重量分别是。但是,我们并不知道物体的重量,只知两两之间重量比的比值:设准则C为比较重量,问题是:已知,在准则C下对元素排序,也就是按其重量大小排序已知。对于以下三个特性: (1)(2) (3)显然满足(1)与(2),但是,(3)式通常不被满足(因为统计或构造这么完整的数据很难),满足(1)、(2)的矩阵A为正互反矩阵;满足(1)、(2)并且(3)也成立时的矩阵A称为一致性判断矩阵。问题是:已知判断矩阵A,在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。如果,是,,是重量的精确值,此时(3)式必定成立,即A是一致性判断矩阵。令则带入计算,。显见n是方阵A的特征根,g是A的与对应的特征向量;事实上此时不难验证:n是方阵A=(aij)的最大特征根,其余n-1个特征根全为零,而g是A的与最大特征根n对应的特征向量。(证明见附录)g的n个分量是物体的相对重量,因此,可按此对排序。如果对矩阵A有一个小的扰动,即不再是真实重量的比值,这时显然A不满足一致性条件,此时A的最大特征根不再是n;因扰动很小,自然离n不远,这时对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量,但是,变动也不会太大。我们设想:如果扰动不大,则离n就不远,此时对应的特征向量与差不多,如果不改变g的各分量的大小次序,则同样给出n个物体按重量大小的真实排序。这样,对不满足一致性的正互反矩阵,我们求其最大特征根,再求与对应的特征向量g,则可按g对n个物体按重量大小排序。但是,这一番理论有几个疑点:①当A不满足一致性时,A还有没有最大正的特征根;②既使A有最大特征根,那么,这个最大特征根对应的特征向量的全部分量能否还是正数(重量不可能为负数)?这两个问题可以用矩阵代数中Perro—Frobineus定理回答。Perro-Frobineus定理:正矩阵存在重数为1重的正特征根,其它特征根的模均小于这个正特征根,该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成,经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。()Perron定理明白地告诉我们,对正互反矩阵A,既使它不满足一致性,也一定存在最大正的实特征根,它对应的特征向量的各个分量都可以是正数,并且“归一化”后是惟一的。但是,我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n个物体按重量大小排序呢?或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢?这个问题太难了,人们简直难于正面明确地回答,而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。那就是对判断矩阵的一致性满意程度进