一、模型的建立设系统有个待优选的对象组成备择对象集,有个评价因素组成系统的评价指标集。每个评价指标对每一备择对象的评判用指标特征量表示,则系统有阶指标特征量矩阵:,式中为第个备择对象的第个评价因素的指标特征量,一般情况下,它具有两种类型:(1)“越大越优”型,其隶属度计算式为:式中为中的最大值。(2)“越小越优”型,其隶属度计算式为:式中为中的最小值。优化的任务在于根据指标特征量矩阵选择出最优对象或对象的最优排序。事实上,优与次(或劣)这一对立的概念之间不存在绝对分明的界限,这是优化的模糊性。另一方面,优化是依据指标特征量在备择对象集中进行,优或次是相对于备择对象集中的元素间比较而言,这是优化的相对性。通过3(3)、3(4)式,可将指标特征量矩阵3(2)转变为指标隶属度矩阵3(5)(例如可用适当的计算隶属度公式等):根据优化的模糊性与相对性概念,可以给出下面定义:定义1设系统有指标隶属度矩阵3(5)若称为系统的优向量。若称为系统的次向量,式中、为取大、取小运算符。定义2设系统有优向量与次向量,若备择对象以隶属度从属于优向量,则其向量表达式称为对象优属度。同时,备择对象又以的余集从属于次向量,则的余称为对象次属度。定义3设系统有优向量、次向量与评价因素的权向量:并记若由称、分别为备择对象与优向量、次向量的距离或差异程度,简称为优异度与次异度,式中为广义距离参数。定义4设系统有备择对象的优异度与次异度,则称分别为备择对象的权优异度与权次异度。定义4的意义是,由于备择对象与优向量、次向量距离或差异为、而备择对象又以隶属度、从属于优向量、次向量,隶属度作为权重,故有权优异度与权次异度概念,其几何意义则为权距离。模糊优化的目的在于求出向量的最优解,为此,将经典数学中最小二乘方准则——距离平方和最小,扩展为权距离平方和最小准则。这一拓展在理论上是有意义的,因为在等权条件下,权距离平方和最小即变为距离平方和最小准则,后者为前者的特例,前者则是更加一般化的最优准则。应用权距离平方和最小及由定义2,目标函数为:全体备择对象的权优异度平方与权次异度平方之总和为最小:求解则得优属度向量最优解的模型为:,式3(17)称为系统模糊优化理论模型,用此式计算系统中每个备择对象从属于优向量的隶属度,即对象优属度,由个备择对象的优属度,根据隶属度最大原则,可解得系统最优对象与对象的最优排序。系统模糊优化模型有明确的数学物理意义:(1)如,由式3(17)可知该备择对象的优属度大于。其物理意义为系统中备择对象与优向量的差异程度(优异度)小于该对象与次向量的差异程度(次异度)。(2)如,其数学物理结论正好与(1)相反。(3)如,按式3(17)有备择对象的优属度等,优异度等于次异度,优属度等于次属度。(4)如,由式3(17)知备择对象的优属度等于。这说明优异度为零时,该备择对象就是优向量,其优属度理所当然的应为。(5),其数学物理结论与(4)相反。模糊优化理论模型式3(17)同样可求解大系统多层次的最优对象或对象的最优排序。此时可将系统分层,即分解为若干个(设为个)分系统(甚至更小的系统),每个分系统有若干个评价因素对全体个备择对象进行评判,可用模型3(17)分别解得个分系统的优属度最优向量,组成新的隶属度矩阵:令,并给出个分系统的权向量,再用模型3(17)进行高一层次即系统的模糊优化计算,可解得大系统的最优对象与对象的最优排序,类似地,还可应用于更多层次的优化。二、模型算法的分析与比较将模糊优化模型3(17)与目前应用比较广泛的模糊综合评判模型(加权平均型)作比较与分析,令模型3(17)中的距离参数,即是相当于取用海明距离,于是模型3(17)变为:…………3(18)式中,为模糊综合评判加权平均模型的综合评判值(向量值);,称为优向量参数;,称为次向量参数。对式5(18)求导数,得…………………………………………3(19)由定义1可知,故,可见函数式3(18)为单调增函数。对式3(18)求二阶导数,则有…3(20)当时,,故函数式3(18)在区间为凹性,在此区间内曲线呈凹形。当时,,函数式3(18)在区间为凸性。在该在区间内曲线呈凸形。而为唯一拐点。根据以上分析可见,模糊优化理论模型3(17)的一个特例,即,距离参数等于时的公式3(18),比模糊综合评判模型多考虑了两个具有优次标准的参数:与,且为加权平均值的非线性函数。式3(18)比模糊综合评判加权平均模型的评判值在拐点:两侧具有更大的离散性,也即综合评判值有着更大的分散性,由于式3(18)在定义区间:为单调增函数,故在单层评判中,式3(18)的评判值与模糊综合评判加权平均模型的评判值趋于均化(尤其在多层评判中)不易决策的困难。综上所述,模型3(17)当取用海明距离,距离参数为时,得到的模型3(18)在理论上优于现行
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