线性代数必考知识点.doc

薅2008年线性代数必考的知识点芅1、行列式薃行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;虿代数余子式的性质:薈①、和的大小无关;莄②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;蚀③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;莁代数余子式和余子式的关系:莇设行列式:蒄将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;肁将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;衿将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;膆将主副角线翻转后,所得行列式为,则;薄行列式的重要公式:蒂①、主对角行列式:主对角元素的乘积;薁②、副对角行列式:副对角元素的乘积;腿③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;蚄④、和:副对角元素的乘积;袃⑤、拉普拉斯展开式:、肈⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;羈⑦、特征值;螄对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;芄证明的方法:螀①、;蚆②、反证法;螄③、构造齐次方程组,证明其有非零解;蒀④、利用秩,证明;膈⑤、证明0是其特征值;蒅2、矩阵袄是阶可逆矩阵:袁(是非奇异矩阵);袀(是满秩矩阵)蒈的行(列)向量组线性无关;羄齐次方程组有非零解;节,总有唯一解;莈与等价;芇可表示成若干个初等矩阵的乘积;肃的特征值全不为0;蚃是正定矩阵;肀的行(列)向量组是的一组基;肆是中某两组基的过渡矩阵;膃对于阶矩阵:无条件恒成立;肄薈聿矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;芃关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:膁若,则:芀Ⅰ、;袈Ⅱ、;莃②、;(主对角分块)薂③、;(副对角分块)羂④、;(拉普拉斯)薇⑤、;(拉普拉斯)莃3、矩阵的初等变换与线性方程组羃一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;葿等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;莅对于同型矩阵、,若;蒃行最简形矩阵:莃①、只能通过初等行变换获得;膁②、每行首个非0元素必须为1;蒈③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;葿初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)莇若,则可逆,且;蒆②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;肄③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;蕿初等矩阵和对角矩阵的概念:螈①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;膈②、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素;袃③、对调两行或两列,符号,且,例如:;袃④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;腿⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;蚅矩阵秩的基本性质:袆①、;羃②、;薀③、若,则;莇④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)蚄⑤、;(※)肃⑥、;(※)羀⑦、;(※)袅⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)蒃 Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);膃 Ⅱ、膇⑨、若、均为阶方阵,则;薇三种特殊矩阵的方幂:膂①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;芃②、型如的矩阵:利用二项展开式;薈 二项展开式:;羅 注:Ⅰ、展开后有项;芅Ⅱ、莂Ⅲ、组合的性质:;罿③、利用特征值和相似对角化:蚇伴随矩阵:羄①、伴随矩阵的秩:;莂②、伴随矩阵的特征值:;莀③、、膅关于矩阵秩的描述:螃①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)蒂②、,中有阶子式全部为0;蒇③、,中有阶子式不为0;袇线性方程组:,其中为矩阵,则:薂①、与方程的个数相同,即方程组有个方程;薂②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;袈线性方程组的求解:莄①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);薅②、齐次解为对应齐次方程组的解;蚂③、特解:自由变量赋初值后求得;艿由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:肆①、;莃②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)螂③、(全部按列分块,其中);虿④、(线性表出)蒄⑤、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)肂4、向量组的线性相关性袂个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;肀个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;芆含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;膅①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)羂②、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)芇③、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程)羈矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14)袄;(例15)羁维向量线性相关的几何意义:蚈①、线性相关;莆②、线性相关 坐标成比例或共线(平行);蚃③、线性相关 共面;肁线性相关与无关的两套定理:聿若线性相关,则必线性相关;肈若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)蒂若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:膁若线性无关,则