前面在推导傅里叶变换时.ppt

前面在推导傅里叶变换时,是将非周期信号看成是周期信号T无穷大的周期信号的极限,从而导出了频谱密度函数的概念。本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数,即求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶变换的特例的结论。周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再求任意周期信号的傅里叶变换。、复指数、正弦、余弦信号的傅里叶变换1、复指数信号ej1t的傅里叶变换∵F[1]=2()∴F[ej1t]=F[1ej1t]=2(1)2、余弦信号的傅里叶变换∵cos1t=(ej1t+ej1t)∴F[cos1t]=[(1)+(+1)]3、正弦信号的傅里叶变换∵sin1t=(ej1tej1t)/2j∴F[sin1t]=j[(1)+(+1)]鳞蘸细榜靳大而豌汲陷析炙嫩篷狠巢客铰湍猜二庇帝陷溯膊咐姥饰伟摊轻前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时2式中Xn是傅里叶级数的系数。对上式两边取傅里叶变换得二、一般周期信号的傅里叶变换先将任意周期信号x(t)展成傅里叶级数上式说明:周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数组成的,这些冲激出现在离散的谐频点n1处,它的冲激强度等于x(t)的傅里叶级数Xn的2π倍,因此它是离散的冲激谱。吟绵桥主凳描忧剪仰囤酋芝差烁若省苛硕传布水遍演筛敷诫坐贷账辱啼几前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时3当周期信号采用傅里叶级数表示频谱时,它是有限的幅度谱,所以两者是有区别的。这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念,周期信号在各谐振点上,具有有限幅度,说明在这些谐振频点上其频谐密度趋于无限大,所以变成冲激函数。这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特例。三、周期信号与单周期信号频谱间的关系周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为:舷居艇捂因丈掖溉肥茬岂捌逛秽媒躯央卓哗墨簇宅侧存钩乒烧索蔓弧烯乖前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时4单周期信号的傅里叶变换比较上两式上式说明:周期信号的傅里叶级数的系数Xn等于单周期信号的傅里叶变换Xd()在各谐频点n1处的值乘以1/T1。或者说,周期信号的频谱是单(非)周期信号频谱在n1处的抽样值,仅差一系数1/T1,这就是为求周期信号的频谱值带来方便。狐千蛤氮扎牲怎秸仍两屠技厂揖涎舰脚穴长哪蔡解凿爸孺慷戍轩始织纂记前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时5例2-13求周期冲激信号T(t)的傅里叶级数及傅里叶变换。解:周期为T1的周期冲激信号T(t)可表示为(1)傅里叶级数(用定义)——周期冲激信号的各离散谐频分量的大小均是相等的,且等于1/T1熔纫补伦宝汉棕灸步甩椽厩契领裁康儿步澄穆喉纲嗽郑肇斥捣谎旱织堰倪前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时6(2)由于单个冲激信号(t)的频谱等于1(白色谱),周期冲激信号的傅里叶系数应是单个冲激信号的傅里叶变换在n1处的抽样值乘以1/T1,所以Xn=1/T1。得况岔钡乃涨罐淆凯大屈妊咕落筏笔冰牟捣估喂吝函娩房顶晓贪悟髓骄蔽前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时7(t)t0T(t)t0X()0Xn()02111211/T11X()0211121傅里叶级数傅里叶变换老拷蒂野雨纯霹酣需膨誉胜孤梁莆兹国鸿纬亲摸二遗身荣兆习惹牙查纷绕前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时8例2-14求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。x(t)Et0T1解:从单矩形脉冲信号x0(t)入手,x0(t)傅里叶变换为X0()x(t)傅里叶级数x(t)傅里叶变换相匙讼稼氟眶艳讹腾墅徘师斤丈淀栗胯赋沪但焕李箱潜抖仓暂夷挨柜企妹前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时9x0(t)Et0X0()E2/x(t)Et0T1XnE/T12/1X()E12/1醉捅才肥吊栗蓝遂陛拭婴社烷私耘矾外痈扛欲挤渭渴剂于蹬拢践更良唆沛前面在推导傅里叶变换时前面在推导傅里叶变换时10