巧用函数单调性来妙解其数学题.docx

巧用函数单调性来妙解其数学题.docx巧用函数单调性妙解数学题函数是高中数学的重要内容,函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时,若能根据题目的结构特征,构造出一个适当的单调函数,往往能化难为易,化繁为简,获得巧解和妙解。下面举例说明。巧求代数式的值例1・已知(x+2)『+/+2x+2y=0,求(x+y)2007的值。解:已知条件可化为(%+ +(兀+2刃=(-x)5+(-x)设/(x)=x5+x,则f(x+2y)=f(-x)而/(%)=x5+x在R上是增函数则有兀+2y=—兀,即x+y=0所以(兀+y严7=o点评:本题关键是将条件转化为(x+2y)5+(x+2y)=(-x)5+(-x),再构造相应函数/(x)=x5+x,利用单调性求解。拓展练习:己知方程x+3*=3的根为a,方程x+log3^=3的根为B,求a+13的值。(答案:a+0=3)+7v=T657解:易见x=2是方程的一个解原方程可化为而/⑴在R上是减函数,g(x)由此知:当x>2时,(因为G(0, 1))同样在R上是减函数因此f(x)+g(x)在R上是减函数=1当x<2时,这说明x>2与Xv2的数都不是方程的解,从而原方程仅有唯一解尤=2O拓展训练:解方程5V-1=2V(2+2A)O(答:x=2)点评:解该类型题有两大步骤:首先通过观察找出其特解兀),然后等价转化为/(X)=d(d为常数)的形式,最后根据/(X)的单调性得出原方程的解的结论。妙求函数的值域hia 好cos2x+6cosx+10/、砧/古*= (0<x<7T)的值域。3+cosx解:令COSX=t,贝!|y=/(/)=/+3+17+3因为()5兀5龙,所以-\<t<l而/⑴在虫[一1,1]内递增所以/(-!)</(/)</(!)5 17又/(-1)=?/(D=-</(%)<—2 4「5 17】所以—为所求原函数的值域。2 (l+Vx)>logI6x解:设/=log]6兀'贝'Jx=165,4x=4'原不等式可化为log5(l+4r)>t则1+4Z>5\Bpf-1+⑴>115丿15丿显然/("是R上的减函数,且1二/(1),那么不等式即/(r)>/(l)=>r<l因此有log16x<1,解得0v兀V16点评:解不等式其实质是研究相应函数的零点,正负值问题。用函数观点来处理此类问题,不仅可优化解题过程,且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练:解不等式(5x+3)3+x3+6x+3>0o(答:五・巧证不等式例5•设(7>0,b>0,m>0,/?>0,求证+hm+nan+bn证明:当m,立。n中至少有-个为。时,则有心匚=322a”结论成设m>0,n>0因为y=xa(a>0)在(0,+co)上单调递增所以am-hm与a“一b“必同号,或同为0(当且仅当a=h时)从而(am-bmXan-bH)>0^am+n+bm+n>a,nbn+anbm(严”+护+“ 严+歹 an+bn > • 222因此,原不等式成立(当且仅当a=b或加=0,或乳=0时取“二”号)。点评:原不等式等价于am+n+bm+n>ambn+anbmo(am-bm)(an-bn)>0,这可由幕函数y=xa(a>0)在(0,+co)上递增而得到。本题可拓展:令zn=sin2a,n=cos2a,则a+b> ab^2a+aQQ^ab