考研数学高数知识点.doc

=f(x)在x0附近有定义,自变量的增量,引起, ,若,则称f(x)在x=x0点连续. ·y=f(x)在(a,b)内连续f(x)在(a,b)内的任意点连续。·y=f(x)在[a,b]内连续f(x)在(a,b)内的任意点连续,且在a点右连续,b点左连续。(以函数极限为例):设,则            A. B..(1)单调有界数列必有极限准则如果数列{xn}满足条件x1≤x2≤x3≤…xn≤xn+1 ≤…,就称数列{xn}是单调增加的;如果数列{xn}满足条件x1≥x    2≥x3≥…xn≥xn+1 ≥…,就称数列{xn}    有极限.(2)夹逼准则如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件:xn≤yn≤zn (n=1,2,3﹍), 且那么数列的极限存在,且.(1)唯一性函数极限,则A是唯一的确定的常数;(2)有界性(局部有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界;(3)函数极限的局部保号性定理1(已知极限的符号判断函数的符号)如果,而且A>0(或A<0),那么就存在着点x0的某一去心邻域,当在该邻域内时,就有f(x)>0(或f(x)<0). 备注:如果(),那么就存在着x0的某一去心邻域,当时,就有. (已知函数的符号判断极限的符号)如果在x0的某一去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且,那么A≥0(或A≤0)(1)数列的极限(ε-N语言) (自然数),使得当n>N时,|xn-A|<ε极限存在时称为数列是收敛的,极限不存在时称数列是发散的.(2)函数的极限·当x→∞时函数的(双侧)极限(ε-N语言) ,使得当|x|>X时,|f(x)-A|<ε. ·当x→x0时函数的(双侧)极限(ε-δ语言) ,使得当0<|x-x0|<δ时,|f(x)-A|<ε. (3)函数的单侧极限 x→+∞(x→-∞)时函数的极限使得当x>X时,|f(x)-A|<ε. 使得当x>-X时,|f(x)-A|<ε. ·当时函数的极限使得当时,. 使得当时,.闭区间连续函数的性质(1)(最值定理)闭区间上的连续函数必取得最大值,最小值。(2)(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点,使得. (3)(零点定理)闭区间上的连续函数如果两个端点函数值异号,则至少存在一点的函数值为0. (4)(有界性)闭区间上的连续函数在该闭区间上必有界。(1)间断点的定义由在x0连续的等价定义易知:f(x)在x=x0点连续    间断点就是不连续的点,按上面的分析知间断点上述三条至少有一条不满足. (2)间断点的分类第一类间断点:x0是f(x)的间断点,如果存在,则称x0是f(x)的第一类间断点. ①若f(x0+0)=f(x0-0)≠f(x0)则称x0是f(x)的可去间断点②若f(x0+0)≠f(x0-0)则称x0是f(x)的跳跃间断点第二类间断点:若f(x0+),f(x0-)至少有一个不存在,则称x0是f(x): 1、分段函数:定义域中各段