鸡兔同笼.doc

鸡兔同笼黑龙江省克山县昊方小区潘有发今有雉兔同笼,上有三十五头。下有九十四足,问雉兔各几何?——引自《孙子算经》卷下雉(zhi)原指山鸡或野鸡,古代能否鸡兔同笼,我们不得而知,暂且不去考虑。不过,《孙子算经》的解法,是实在简洁巧妙。术文说:“上置头,下置足,半其足,以头除(此处“除”意为“除去”,即相当于现在的“减去”之意”)足,以足除头,即得。”书中先设金鸡独立,玉兔双腿(即“半其足”)这是共有腿数为:94÷2=47在这47条腿中,每数一条腿应该有一只鸡而每数两条腿才有一只兔。也就是说,每只鸡的头、足数相等。而每只兔的头数却比足数少一,所以兔数为:47-35=12鸡数为:35-12=23在一般情况下,如果设x为鸡数,y为兔数,A为鸡兔总只数,B为鸡兔总足数,则:x+y=A2x+4y=B解之,可得:y=-A,x=A-y=A-(-A)这就是说,兔数为腿数的二分之一(半其足)与总头数之差(以头除足)。南宋数学教育家杨辉,在《续古摘奇算法》(1275年)卷下,称此类问题为“二率分身”,杨辉给出两种新的解法:①兔数:(94-35×2)÷2=12,鸡数:35-12=23②鸡数:(35×4-94)÷2=23兔数:35-23=12这与现在的算术解法相近。在元朱世杰《算学启蒙》(1299年)、《永乐大典》中的《丁巨算法》、严恭《通原算法》中,也载有“鸡兔同笼”问题。朱世杰的解法与现在的算术解法几乎完全一样。今有鸡兔一百,共足二百七十二只,只云鸡足二兔足四,问鸡兔各几何?术曰:列一百,以兔足乘之,得数内减共足余一百二十八为实(被除数)。列鸡兔足以少减多,余二为法(除数),而一得鸡,反减一百即兔,合问。又术曰:倍一百以减共足余半之即兔也。此即:鸡数:(100×4-272)÷(4-2)=64兔数:100-64=36又:兔数:(272-100×2)÷(4-2)=36鸡数:100-36=64在明吴敬《九章算法比类大全》(1450年)、王文素《算学宝鉴》(1524年)、徐心鲁订正《盘珠算法》(1578年)、佚名《书算玄通》、《算法便览》、《精彩算法真诀》、程大位(1533——1606)《算法统宗》(1592年)等书中,都载有一些很有趣味的诗词古体鸡兔同笼问题,例如吴敬《九章算法比类大全》卷六诗词第三十八题:鸡兔同笼不知数,上数头数六十个,却向下头细意数,一百六十八只脚。吴敬原法为:鸡数:(60×4-168)÷(4-2)=36(只)兔数:60只-36只=24只鸡兔同笼问题,在我国民间流传很广,民间流传:野鸡兔子四十九,一百条地下走。试问英贤能算士,野鸡兔子各几何?在清朝著名小说家李汝珍(约1763——1830)《镜花缘》第九十三回中载有如下一段故事:宗伯府的女主人卞宝云邀请女才子们到府中的小熬山观灯。当众才女们在一片欢迎的音乐中来到小熬山时,只见楼上楼下俱挂灯球,五彩缤纷,壮观秀丽,宛如列星,高低错落,一时竟难分辨其多少,卞宝云请精通筹算的才女米兰芬,算一算楼上楼下大小灯球的数目,她告状米兰芬:楼上的灯有两种,一种上做三个大球,下缀六个小球,计大小球九个为一盏灯:另一种上做三个大球,下缀十八个小球,计大小球二十一个为一盏灯。楼下的灯也分为两种:一种一个大球,下缀两个小球;另一种是一个大球,下缀四个小球,她请米兰芬算一算楼上楼下大小四种灯各有多少盏。米兰芬稍微想一想,请宝云命人查一