向量与坐标知识点总结.docx

肅解析几何复习知识点总结莀袇向量与坐标肇第一节向量的概念:空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模(moduius)。膄规定,长度为0的向量叫做零向量,。蕿与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量。记为-a袆方向相等且模相等的向量称为相等向量。芄长度为一个单位(即模为1)的向量,,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|。膂肇1共线向量定理蚅两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb莄2共面向量定理薃如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by蝿3空间向量分解定理蚈如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc。蒄任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底,零向量的表示唯一。:将各个向量依次首尾顺次相接,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。薄平行四边形定则解决向量加法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,膀向量的加法羈结果为公共起点的对角线。膅平行四边形定则解决向量减法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果由减向量的终点指向被减向量的终点。蚄(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。)薁坐标系解向量加减法:蚀在直角坐标系里面,(x,y)形式,羄A(X1,Y1)B(X2,Y2),则A+B=(X1+X2,Y1+Y2),A-B=(X1-X2,Y1-Y2)  简单地讲:向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。蚄向量加法的运算律:羂交换律:a+b=b+a;肈结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。羇减法螄如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=-OB=“共同起点,指向被螀向量的减法螆减”袃a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').蒀如图:c=a-b 以b的结束为起点,a的结束为终点。芈交换律:a+(-b)=a-,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。袁当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;羀当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;薈当λ=0时,λa=0,方向任意。肃当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。节注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。蒈实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。莇当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍膃当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。蚃实数p和向量a的点乘乘积是一个数。腿数与向量的乘法满足下面的运算律肆结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。芃向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+(第二分配律):λ(a+b)=λa+:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。袄需要注意的是:向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。,如果存在不全为零的系数c1,c2,...,cn∈F,使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0,那么其中有限多个向量v1,v2,...,,称这组向量为线性无关的。更一般的,如果有无穷多个向量,我们称这无穷多个向量是线性无关的,如果其中任意有限多个都是线性无关的。莃蚁螇分解定理蚆平面向量分解定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。蒃定比分点公式肂定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2)葿设P1、P2是直线上的两点,P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数λ且λ不等于-1,使向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。蒅若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有薂OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);(定比分点向量公式)蒃x=(x1+λx2)/(1+λ),羇y=(y1+λy2)/(