函数单调性的判定方法.doc

函数单调性的判定方法判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种:定义法首先我们给出单调函数的定义。一般地,设f为定义在D上的函数。若对任何x1、x2D,当x1x2时,总有(1)f()(),则称f为D上的增函数,特别当成立严格不等f(x1)f(x2)x1fx2时,称f为D上的严格增函数;(2)f(x1)f(x),则称f为D上的减函数,特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)2时,称f为D上的严格减函数。给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数yf(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤:(1)设元,任取x,x2D且x1x2;1(2)作差f(x1)f(x2);(3)变形(普遍是因式分解和配方);(4)断号(即判断f(x1)f(x2)差与0的大小);(5)定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。()()在(,)上是减函数。xx证明:设x,x2(,),且x1x2,则1f333322(x1)f(x)xa(xa)xx(xx)(xxx1x2212212112).1x322222由于0x1x,x2x10xxx(x)212122422则f()()()()0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在,x1fxxxxxxx2211212上是减函数。(x)x(k0)在(0,)上的单调性。x证明:设x1、x2(0,),且x1x2,则kkkkf(x)f(x)(x)(x)(xx)()1x1x2122xx1212(xxxxxxk211212xx)k()(xx)k()(xx)(),1xx221xx21xx121212又0xx所以x1x20,x1x20,12当x、x2(0,k]时x1x2k0f(x1)f(x2)0,此时函数f(x)为减函数;1当x、x2(k,)时x1x2k0f(x1)f(x2)0,此时函数f(x)为增函数。1综上函数kf()(k0)在区间(0,k]内为减函数;在区间(k,)内为增函xxx数。此题函数f(x)是一种特殊函数(对号函数),用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于x1xk与0的大小关系(k0)不是明确的,因此要分段讨论。2用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x当2x1x时,容易得出f(x1)与f(x2)大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直2接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐。函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表:2函数函数表达式单调区间特殊函数图像一当k0时,y在R上是增函数;次函数ykxb(k0)当k0时,y在R上是减函数。二次函数2yaxbxc(a0,a,b,cR)ba0当时,xy时单调减,2abx时y单调增;2aba0x当时,2abxy时单调减。2a时y单调增,当k0时,y在x0时单调减,在x0反比例函数kyx(kR且k0)时单调减;当k0时,y在x0时单调增,在x0时单调增。当a1时,y在R上是增函数;指数函数xya(a0,a1)当0a1,时y在R上是减函数。3当a1时,y在(0,)上是增函数;对数函ylogax当0a1时,y在(0,)上是减函数。数(a0,a1)对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论:⑴.f(x)与f(x)+C单调性相同。(C为常数)⑵.当k0时,f(x)与kf(x)具有相同的单调性;当k0时,f(x)与kf(x)具有相反的单调性。⑶.当f(x)恒不等于零时,f(x)与f1(x)具有相反的单调性。⑷.当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数时,则f(x)+g(x)在D上是增(减)函数。⑸.当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒大于0时,f(x)g(x)在D上是增(减)函数;当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒小于0时,f(x)g(x)在D上是减(增)函数。⑹.设yf(x),xD为严格增(减)函数,则f必有反函数1f,且1f在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数。我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性,下面我们来看以下几个例子:3x3xx12的单调性。(x)xxlog2(1)52解:函数f(x)的定义域为(0,),由简单函数的单调性知在此定义域内122x,xx均为增函数,因为20x由性质⑸可得2(1)23log为增函数,再由性质⑴知函数数;由单调函数的性质⑷知xx2xf(x)xx3xxx+5在(0,)为单调递增函数。312lo