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第一章矢量分析
、矢量的基本运算()
、矢量的通量和散度()
、矢量的环量和旋度()
、标量的方向导数和梯度()
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第 1、2 学时 矢量的基本运算

电磁场中遇到的绝大多数物理量, 能够容易地区分为标量(Scalar)和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量, 例如, 电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上, 所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量, 电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如, 矢量A可以表示成
  A=aA
其中, A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向, a=A/A其大小等于1。
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一个大小为零的矢量称为空矢(Null Vector)或零矢(Zero Vector),一个大小为1的矢量称为单位矢量(Unit Vector)。在直角坐标系中,用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。
空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定,如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector),它在直角坐标系中表示为
r=axX+ayY+azZ
图1-1 直角坐标系中一点的投影
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如,在直角坐标系中,矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az,利用三个单位矢量ax、ay、 az 可以将矢量A表示成:
A=axAx+ayAy+azAz
矢量A的大小为A:
A=(A2x+A2y+A2z)1/2

矢量相加的平行四边形法则,矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和,矢量加法的结果仍是矢量

矢量的乘积包括标量积和矢量积。
1) 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量,
它等于两个矢量的大小与它
们夹角的余弦之乘积,如图
1-2所示, 记为
A·B=AB cosθ
图1-2 标量积
例如,直角坐标系中的单位矢量有下列关系式:
ax·ay=ay·az= ax·az=0
  ax·ax=ay·ay=az·az=1
任意两矢量的标量积,用矢量的三个分量表示为
A·B=AxBx+AyBy+AzBz
标量积服从交换律和分配律,即
  A·B=B·A
A·(B+C)=A·B+A·C
2) 矢量积
任意两个矢量A与B的矢量积(Vector Product)是一个矢量,矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积,其方向垂直于矢量A与B组成的平面, 如图1-3所示,记为
C=A×B=anAB sinθ
  an=aA×aB (右手螺旋)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋
(a) 矢量积(b) 右手螺旋