x 的一次多项式
需要解决的问题
如何提高精度?
如何估计误差?
4-3 泰勒公式
以直代曲
若上式成立,则有
要证明上述公式成立,实际上就是要证明
证
即证明了:
即证明了:
其中
(n阶泰勒多项式)
展开式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式
定理 1 (泰勒公式)
设 y = f(x) 在点的某个邻域内有定义,并在点具有 n 阶导数则在点附近有下列展开式:
证
连续地使用(n-1)次洛必达法则,则有
(*)
证毕.
(*)称为n阶泰勒公式
称为皮亚诺型余项.
在泰勒公式中若取
则有
称为马克劳林( Maclaurin )公式.
几个初等函数的马克劳林公式
例1
解
例2
解
类似可得
例3
解
或者认为展开式结束于偶数项:
例4
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