*第四节
二、中值定理与泰勒公式
三、极值问题
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二元函数的泰勒公式
第十七章
一、高阶偏导数
一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
若这两个偏导数仍存在偏导数,
则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数.
按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
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数:
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如,z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数, 再关于 y 的一阶
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偏导数为
例5. 求函数
解:
注意:此处
但这一结论并不总成立.
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的二阶偏导数及
例如,
二者不等
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
证:
利用对称性, 有
方程
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则
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定理.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,
说明:
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
函数在其定义区域内是连续的,
故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
因为初等函数的偏导数仍为初等函数,
当三阶混合偏导数
在点(x , y , z) 连续时, 有
而初等
(证明略)
证:令
则
则
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定理.
令
同样
在点
连续,
得
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二、中值定理与泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广
多元函数泰勒公式
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