高二上数学知识点总结.doc

不等式不等式的概念和性质基本知识::用不等号“>,<,”将两个代数式连接而成的式子叫做不等式。:用作差运算定义:用作商运算定义::不等号不改变方向的:①(对称性)②(传递性)③(不等量加等量)④(同向不等式相加)(注意:异向不等式不能相加!)⑤(异向不等式相减)(注意:同向不等式不能相减!)⑥(不等量乘正量);(不等量除正量)⑦(同向不等式相乘)(注意:异向不等式不能相乘!)⑧(异向不等式相除)(注意:同向不等式不能相除!)⑨(不等式的乘方)⑩(不等式的开方)不等号要改变方向的:⑾.(不等量乘负量);(不等量除负量)⑿.(不等量取倒数)均值不等式基本知识::如果,那么(当且仅当时取“=”)证明::如果是正数,那么(当且仅当时取“=”)证明:∵∴即::,()(当且仅当时取“=”)——方均不等式::(不作要求)(1)定理:如果,那么(当且仅当时取“=”)证明:∵∵∴上式≥0从而指出:这里∵就不能保证(2)推论:如果,那么(当且仅当时取“=”)(3)若,则(当且仅当时取“=”):若,则≤≤≤(调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤加权平均数)柯西不等式(特例):柯西不等式二维形式(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件:ad=bc(a/b=c/d) 扩展:((a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2;)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2; 等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn(当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0,不考虑ai:bi,i=1,2,3,…,n) 三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 注:“√”表示平方根, 向量形式|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a,…,an),β=(b1,b,…,bn)(n∈N,n≥2) 等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。一般形式(∑(ai^2;))(∑(bi^2;))≥(∑ai·bi)^2; 等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。上述不等式等同于图片中的不等式。推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 注:“Πx”表示x1,x2,…,xn的乘积,其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式,其表述是:在m*n矩阵中,各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。(应为之积的几何平均之和)编辑本段柯西不等式的证明二维形式的证明(a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R)=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。三角形式的证明√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 证明:[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d|注:||表示绝对值。*表示乘≥a^2+b^2+c^2+d^2-2(a*c+b*d) =a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2 =(a-c)^2+(b-d)^2 两边开根号即得√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]一般形式的证明求证:(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2 证明: 等式左边=(ai^2·bj^2+aj^2·bi^2)+....................共n^2/2项等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n^2/2项用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证向量形式的证明令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos<m,n> ∵cos<m,n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) 注:“√”表示平方