矩阵特征根.ppt

线性代数
第五章线性变换
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§ 特征值与特征向量
一特征值与特征向量的概念
设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的一个线性变换,对于数域 P 上一个数0 ,如果存在一个非零向量使得
则称0 为 T 的一个特征值,非零向量称为T 的属于0 的一个特征向量.
一些基本性质:
(1) 一个特征向量只能属于一个特征值
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§ 特征值与特征向量
(2) 如果1 、2 都是 T 的属于特征值0 的特征向量,则当
1 + 2  0 时,1 + 2 也是 T 的属于特征值0 的特征向量
(3) 如果是 T 的属于特征值0 的特征向量,则的任何一个非零倍数 k也是 T 的属于特征值0 的特征向量
属于特征值0 的全部特征向量+ 零向量构成一个线性子空间
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§ 特征值与特征向量
记
称为线性变换 T 的属于特征值0 的特征子空间.
二特征值与特征向量的求法
设1, 2,…, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基,线性变换 T 在该基下的矩阵为A ,0 为 T 的一个特征值,属于特征值0 的特征向量在该基下的坐标为
因为
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§ 特征值与特征向量
也即
求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题,存在的充要条件是:
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§ 特征值与特征向量
设 A 是数域 P 上一个n 阶方阵,为一个未知量,矩阵E - A 的行列式
称为 A 的特征多项式,记为
的根称为 A 的特征根(或特征值)
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§ 特征值与特征向量
的非零解称为 A 的特征向量
显然:
当线性变换 T 对应于 n 阶方阵 A 时
T 的特征值对应于 A 的特征值
T 的特征向量坐标对应于 A 的特征向量
当0 为 A 的一个特征值时,方程
(称为特征方程组)
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§ 特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量的步骤:
(1) 计算矩阵 A 的特征多项式
(2) 由
得所有根
即为矩阵A的特征值
(3) 对 A 的不同特征值i , 分别求解方程组
得基础解系
其线性组合
即为i 的全部特征向量。
不全部为零)
(
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§ 特征值与特征向量
例求矩阵
特征值与特征向量.
解:
A 特征值
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§ 特征值与特征向量
将特征值
代入特征方程组,得
即
得基础解系
属于特征值
的全部特征向量
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