过江索道的设计.doc

薆过江索道的设计袂摘要薃山区的农民过江时使用过江索道,由于设计问题,当滑到终点时速度还很快这将会使造成危险,因此合理设计过江索道和安全过江策略有着重要的现实意义,本文根据题目所给的条件和要求,分别建立了三个数学模型,求出对应的过江索道和安全过江策略。蕿对于问题一:不考虑钢索的重量,如果钢索不是一条直线,那么滑下后不能到达点,所以认为钢索是一条平直的直线,已知落差与水平距离,用勾股定理可求得钢索的长度,过江时不计阻力,要使滑到终点时速度为,根据能量守恒定理列出关系式,求解出用草时滑过的距离即安全过江策略。蚆对于问题二,考虑钢索的重量,可将索道线性看为悬索线,以下支点为原点建立坐标系,求出悬索线的方程,用弧长公式求积分,得出钢索的长度,过江时不考虑阻力作用,但由于考虑钢索的重量,弦顷角会不断改变,用积分的知识,根据能量守恒得定理,求出用草时滑过的距离即安全过江策略。芃对于问题三,考虑钢索的重量,索道为悬链线,由问题二已求出钢索长度,过江时考虑阻力的作用,根据能量守恒,开始的重力势能完全转化为阻力和用草时摩擦力所做的功,由于钢索有重量,弦顷角不断变化,并加上阻力的作用,运用能量守恒定理列出关系式,求出安全过江策略。肀关键词:过江索道能量守恒摩擦力做工芇问题重述螆我们经常可以从电视看到这样的景象,山区的农民过江时使用过江索道。由于设计问题,当滑到终点时速度还很快,所以我们看到人们在过江时手中会握着一把草用于快到终点时减速。蚃现要求设计一个过江索道,条件及要求如下。螂莀H螆L肄B膀C聿A袆落差为,水平距离为。假设人从点出发,人用草减速时,摩擦系数为。要求滑到终点时,速度降为。蒅思考解决以下问题:袂问题一:不考虑阻力和钢索的重量的情况下,合理设计你的过江索道和安全过江策略袈问题二:考虑钢索的重量,不考虑阻力的情况,合理设计你的过江索道和安全过江策略羅问题三:考虑钢索的重量和阻力的情况,合理设计你的过江索道和安全过江策略薂问题分析莀对于问题一:在不考虑阻力与钢索重量的情况下,认为钢索是一条平直的直线,已知落差与水平距离,用勾股定理可求得钢索的长度,过江时不计阻力,要使滑到终点时速度为,根据能量守恒,开始的重力势能完全转变为用草减速时的摩擦力所做的工,从而求出最佳的减速点即何处用草。蚇对于问题二:考虑钢索的重量的情况下,在索道的设计计算中,人们公认索道的准确线形是悬链线,以下支点为原点,建立直角坐标系,求出悬链线的方程,再用弧长公式求出钢索的长度,由于考虑了钢索的重量,过江时弦顷角不断在改变,计算摩擦力做工时,把角度化为无数个段进行加和求解,可求出用草减速的最佳位置。肅对于问题三:考虑钢索的重量,索道的线性也为悬索线,由模型二已求出了考虑钢索重量下的悬索线长,过江时考虑阻力的作用,由于钢索有重量,弦顷角不断变化,并加上阻力的作用,运用能量守恒定理,求出安全过江策略。羃符号说明肂表一:符号说明表蚀符号膅说明莄薀用草时人滑过的距离葿芅钢索的长度螅节弦顷角膈莅悬链线上用草的位置膆虿悬链线与水平面的夹角芁莅悬链线的水平张力莂注:还有一些变量没写出,会在模型建立中一一定义蒁模型假设聿假设一:假设过江时均没有刮大风,下大雨情况;蒅假设二:钢索在负重时不变形;螃假设三:所有人均能安全过江;膃假设四:钢索是理想柔性的,不受压不受弯;螈假设五:钢索的自重沿曲线均匀分布;薅假设六:钢索的横截面积在自重及外载荷作用下变化微小,可忽略不计;膄模型的建立与求解薁模型一的建立:薇问题一中不考虑钢索的重量,那么如果钢索不是一条拉直的线,那么就会出现图一中的情况,当人一开始滑下时,会直接下落,且最后无法冲上B点,会在B点的正下方相撞。蚄图一薅所以认为钢索是一条平直的直线,已知落差为,水平距离为。芃图一:不计阻力与钢索重量时的图形薀用勾股定理:螄钢索绳长蚂(1)螁载人时不考虑阻力的作用,过江时的摩擦力只在用草时有,根据能量守恒定理:荿(2)袄有图可知:肃(3)蒃其中为弦顷角,为用草时滑过的钢索长度。膈模型一的求解:膈求解(2)式得蒄(4)羁又因为,所以且膁模型二的建立:芈问题二中考虑了钢索的重量,在索道的设计计算中,人们公认索道的准确线形是悬链线,以下支点为原点,建立直角坐标系。袅图二:索道线性示意图蚂由图二则有:羀(5)莈其中为悬链线的水平张力,为悬链线的单位长度重量。芅设水平张力系数为,则肀(6)蚈求解(3)式得:蒈(7)蒂由边界条件:代入式子得:袂(8)蒇令,求出最低点坐标薈(9)袃将代入可得:芀(10)蒀则悬线索长为:薇(11)芄代入(8)式可得:羂(12)艿图三:考虑钢索重量时,人滑行的示意图蚇考虑钢索重量时,钢索绳由于受到重力的影响,是微微下弯的曲线,人在滑动过程中弦顷角不断在改变,计算时把弦顷角分为若干份进行求和,较为精确得出用草时,滑过的曲线长度。蚅根据能量守