刘克忠-九章数学中的等差数列等比数列.doc

《九章算术》中的等差、等比数列陕西省榆林市横山区横山中学刘克忠2016年9月26日,教育部考试中心下发《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》,,增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求,,,《九章算术》是代表作.《九章算术》系统总结了战国、秦、,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤,但没有证明),有的是一题一术,有的是多题一术或一题多术。它的出现,《九章算术》、均输、盈不足中共有6个等差数列问题,4个等比数列问题,现将这10个问题整理如下,【例1】今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,,问各得几何?(第三章—衰分—1)【译文】现有大夫、不更、簪袅、上造、公士等五个不同爵次的官员,共猎得五只鹿,要按爵次高低分配,问各得多少鹿?【注释】爵次:爵名的次序,按《汉书百官公卿表》:“爵一级曰公士,二上造,三簪袅,四不更,五大夫,,”.“衰分”:比例分配问题.【解析】由题设条件知,,则上造、簪袅、不更、大夫所得鹿数依次为、、、,于是,,,五人所得鹿数分别为:大夫只、不更只、簪袅只、上造只、公士只.【例2】今有禀粟,大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,,,欲以衰出之,问各几何?(第三章—衰分—6)【译文】现要给大夫、不更、簪袅、上造、公士等五个不同爵次的官员,按照一定比例分配粟,共15斗,后又来了一位大夫,也应该发给5斗粟,但仓中没有粟,需要从前面5人中按比例拿出一部分给后来的大夫,问前面5人各出多少粟?【解析】由例1知,原来5人中,公士、上造、簪袅、不更、大夫所得粟数构成等差数列,记为,且首项,公差,则,所以,,,,.现需要将15斗粟从新分配,按照公士、上造、簪袅、不更、大夫、新大夫的顺序,则这6人分配数依次为,,,,,,前5项仍然构成等差数列,公差且,于是,、上造、簪袅、不更、大夫所出粟数依次为,,,,,.【例3】今有金棰,,重四斤;斩末一尺,?(第六章—均输—17)【译文】,重4斤;截末端一尺,?【注释】“均输”:合理摊派赋税;、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、“锥形衰”.李籍《九章算术音义》:“下多上少,如立锥之形也”即是以5、4、3、2、1为列衰.【解析】由题设条件知,自上而下各段重量构成等差数列,记,首项,第5项,项数,设公差为,由等差数列性质知,,,因此,,,.所以,从上到下,依次每尺重为:斤、斤、斤,斤,斤.【例4】今有五人分五钱,?(第六章—均输—19)【译文】现有5人分5钱