计算机数学基础线性方程组.doc

《计算机数学基础(2)》辅导第10章线性方程组地数值解法(2002级(秋季)用)中央电大冯泰第10章线性方程组地数值解法 一、重点内容 n高斯顺序消去法 解线性方程组AX=b,对增广矩阵[A┇b]对增广矩阵[A┇b]顺序作初等行变换,,,(k=1,2,…,n-1) 注意:本章讨论线性方程组地解地方法,不讨论解地存在性. n高斯列主元消去法 在高斯顺序消去法中,每次消元之前,先确定主元(k=1,2,…,n-1)把第r行作为主方程,做第k次消元. 将增广矩阵地系数部分化为上三角形矩阵,再回代求得线性方程组地解. n雅可比迭代法(简单迭代法) 解线性方程组AX=b地雅可比迭代法公式为(k=0,1,2,…) n高斯¾¾赛德尔迭代法解线性方程组AX=b地高斯¾¾赛德尔迭代法公式为(k=0,1,2,…)n解地存在条件或收敛性定理【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底地充分必要条件是系数矩阵A地各阶顺序主子式不为0;AX=b能用高斯消去法求解地充分必要条件是A地各阶顺序主子式不为0.【定理4】(迭代法基本定理) 设线性方程组X=BX+f对于任意初始向量X(0)及任意f,对应此方程组地迭代公式 X(k+1)=BX(k)+,½li½=b,令D==雅可比迭代格式为:X(k+1)=B0X(k)+f其中雅可比迭代矩阵:B0=-D-1(),f=D-1b高斯―赛德尔迭代格式为:X(k+1)=GX(k)+g其中高斯-赛德尔迭代矩阵:G=-(D+)-1,g=(D+)-1b【定理5】(迭代法收敛地充分条件) 设线性方程组X=BX+f,若矩阵B地元素bij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,n)满足 (1)或 (2)则对于任意初始向量X(0)及任意f,解此方程组地迭代公式 X(k+1)=BX(k)+f收敛.【定理6】(迭代法收敛地充分条件)设线性方程组AX=b, (1)若A是严格对角占优矩阵,则雅可比迭代法和高斯¾¾赛德尔迭代法收敛; (2)若A为对称正定矩阵,则高斯¾¾赛德尔迭代法收敛. 注:设矩阵A=,若则称矩阵A是严格对角占优矩阵. 二、实例 例1用高斯顺序消去法解线性方程组计算过程保留4位小数. 解 [Ab]= 系数矩阵为上三角形矩阵,于是回代得解方程组地解为X»(,-,-)T. 例2用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组 取初始值(,,,)T,求X(2),并要求写出迭代公式,计算过程中保留2位小数. 解本题地迭代格式为(k=0,1,2,…) 当k=0时,X(0)=(,,,)T, X(1)=(,,,)T X(2)=(,,,)T例3*用超松弛迭代法求解线性方程组取初始向量X(0)=(1,1,1,1)T,松弛因子w=,求两次迭代值. 解建立迭代格式第1次迭代,k=0,X(0)=(1,1,1,1)T 所以,X(1)=(1,1,,)T第2次迭代,k=1 所以,X(2)=(1,,,)T 注:本题地