SECTION5黎曼几何初步.doc

§5黎曼几何初步黎曼空间[黎曼空间及其度量张量]若n维空间Rn中有一组函数gij(xi)=gji(xi),使得两邻点xi,xi+dxi之间的距离ds由一个正定二次型ds2=gij(x)dxidxj决定,则称空间Rn为黎曼空间,=xi(t)的弧长为积分因为在坐标变换下,ds2为一个不变量,所以这表明gij(x)为一个二阶协变张量的分量,它称为黎曼空间Vn的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量]在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节,,则其长度的平方为gijaiaj设与是两个逆变矢量,则其标量积为gijaibj这两矢量夹角的余弦为设gijai=aj,gijbi=bj则与都是协变矢量,它们的长度与标量积分别为gijaiaj=ajaj,gijaibj=ajbj张量的伴随张量为,式中glj满足等式式中为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号]在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络,满足条件:(i)仿射联络是无挠率的,即(ii)-:,还有等式或还要指出,§4中关于协变微分法的一切结果,-奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动,,利用黎曼联络来定义相应的平行移动称为Vn的勒维-=xi(t)给定了矢量场ai=ai(t),如果沿这条曲线作一无穷小位移时,矢量ai(t)按规律变化,则称矢量ai(t)沿曲线作勒维--奇维塔平行移动具有性质:1度量张量gij的协变导数等于零,即还有,2若两族矢量ai(t)和bi(t)都沿曲线平行移动,(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样,[曲率张量与李奇公式]张量的协变导数与普通导数的明显区别是:求高阶导数时,,运算作用于矢量时,则有(1)记它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量,称为空间Vn的曲率张量或黎曼-(1)式得左边称为逆变矢量的交错二阶协变导数;对协变矢量的交错二阶协变导数是张量的交错二阶协变导数是这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间]曲率张量的协变分量称为第一类黎曼符号,=.[曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j和k是反对称的,即特别2曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加,:因此Rkjlr关于指标j,k与l,r是反对称的;关