范德蒙行列式.doc

范德蒙行列式的推广及应用目录摘要引言第一章定义……………………………………………………………定义的证明………………………………………………………推广定义及证明…………………………………………性质……………………………………………………………………第二章1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用……………………………………2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用…………………………………3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用…………………………4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用……………………………第三章1、范德蒙行列式在多项式插值中的应用………………………………2、利用编程计算范德蒙行列式………………………………………………第四章结论…………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………第一章一、。当我们遇到这样一个数学问题:过平面上n个不同的点(=1,2,…,n)且(=1,2,…,n)各不相同,是否存在唯一的一条n1次曲线,其中,是待定系数,经过这n个不同的点呢?这个问题就等价于下面的线性方程组k1=x+x1λ1+x2λ12+⋯+xn-1λ1n-1k2=x+x1λ2+x2λ22+⋯+xn-1λ2n-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯kn=x+x1λn+x2λn2+⋯+xn-1λnn-1(1),只需考虑方程组(1)的系数行列式的值,其系数行列式为1λ1⋯λ1n-11λ2⋯λ2n-1⋮⋮⋱⋮1λn⋯λnn-1因此只需计算行列式(2)(2)就称为n阶的范德蒙(Vandermonde)行列式下面我们来证明,对任意的n(n≥2),n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差(1≤j<i≤n),我们用数学归纳法证明范德蒙德行列式我们对n作归纳法.(1)当n=2时,11a1a2=a2-a1结果是对的.(2)假设对于n-1级的范德蒙行列式结论成立,=111⋯1a1a2a3⋯ana12a22a32⋯an2⋮⋮⋮⋱⋮a1n-1a2n-1a3n-1⋯ann-1中,第n行减去第n-1行的a1倍,第n-1行减去第n-2行的a1倍,也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的a1倍,有d=111⋯10a2-a1a3-a1⋯an-a10a22-a1a2a32-a1a3⋯an2-a1an⋮⋮⋮⋮0a2n-1-a1a2n-2a3n-1-a1a3n-2⋯ann-1-a1ann-2=a2-a1a3-a1⋯an-a1a22-a1a2a32-a1a3⋯an2-a1an⋮⋮⋮a2n-1-a1a2n-2a3n-1-a1a3n-2⋯ann-1-a1ann-2=(a2-a1)(a3-a1)⋯(an-a1)11⋯1a2a3⋯ana22a32⋯an2⋮⋮⋮a2n-2a3n-2⋯ann-2后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式,根据归纳法假设,它等于所有可能差ai-aj(2≤j<i≤n);,,完成了证明.∎用连乘号,这个结果可以简写为11⋯1a2a3⋯ana22a32⋯an2⋮⋮⋮a1n-1a2n-1⋯ann-1=1≤j<i≤n(ai-aj)由这个结果立即得出,范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a1,a2,a3,…,,下面我们在用定理证明已知在n级行列式D=a11⋯a1j⋯a1n⋮⋮⋮ai1⋯aij⋯ain⋮⋮⋮an1⋯anj⋯ann中,第i行(或第j列)的元素除aij外都是零,那么这个行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积D=aijAij,在Dn=111⋯1a1a2a3⋯ana12a22a32⋯an2⋮⋮⋮⋮a1n-1a2n-1a3n-1⋯ann-1中,从最后一行开始,每一行减去它相邻前一行的a1倍得Dn=111⋯10a2-a1a3-a1⋯an-a10a2(a2-a1)a3(a3-a1)⋯an(an-a1)⋮⋮⋮⋮0a2n-2(a2-a1)a3n-2(a3-a1)⋯ann-2(an-a1)根据上述定理Dn=a2-a1a3-a1⋯an-a1a2(a2-a1)a3(a3-a1)⋯an(an-a1)⋮⋮⋮a2n-2(a2-a1)a3n-2(a3-a1)⋯ann-2(an-a1)提出每一列的公因子后得Dn=a2-a1a3-a1⋯an-a1=11⋯1a2a3⋯an⋮⋮⋮a2n-2a3n-2⋯ann-2最后一个因子是n-1阶范德蒙行列式,用Dn-1表示,则有Dn=a2-a1a3-a1⋯an-a1Dn-:若将范德蒙行列式D