函数的单调性.docx

衿函数的单调性莅函数单调性的的判断方法羆除了用差分法(又称定义法)判断函数的单调性外,常用的方法还是有以下几种:、一次函数、反比例函数的单调性,直接判断函数的单调性,并写出它们的单调区间,熟记以下几种函数的单调性:聿(1)正比例函数:蒃当时,函数在定义域上是增函数;当时,(2)反比例函数:荿当时,函数的单调递减区间是,不存在单调递增区间;当时,函数的单调递增区间是,(3)一次函数:芃当时,函数在定义域上是增函数;当时,(4)二次函数:蒈当时,函数的图像开口向上,单调递减区间是,单调递增区间是;当时,函数的图像开口向下,单调递增区间是,:在定义域上是增函数,其图像如右图:,(1)函数,当时有相同的单调性,当时有相反的单调性;如函数与的单调性相反,函数与的单调性相同;螄(2)当函数恒为正(或恒为负)时与有相反的单调性,如:函数是递增函数,则在区间是递减函数;薃(3)若,则与具有相同的单调性,如:函数,在定义域上,,且是上的递减函数,是上的递增函数,所以函数是上的递减函数,是上的递增函数;罿(4)若,的单调性相同,则的单调性与,,令,即螆,因为函数在上单调递减,的单调递减区间是,所以函数的单调递减区间是蒄;莀 (5)若,的单调性相反,,、抽象函数单调性的判定膆 没有具体函数解析式的函数,我们称为抽象函数,判断抽象函数单调性是一类重要的题型, 实例1已知定义在上的函数对任意,恒有莂,且当时,,,,:蚅求出函数的定义域;芁明确构成复合函数的简单函数(所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数):;袀确定简单函数的单调性;螈若这两个函数同增或同减(单调性相同),则为增函数;若这两个函数一增一减(单调性相异)则为减函数简记为“同增异减”.蒆如下表所示:节函数肈膇膆复合函数莃单调性莁增薇增羇增葿减肆增莃减蚈增蒅减膃减羀减腿减袄增肁实例2求函数在定义域上的单调区间肈 解:由解析式得,,,而在上是减函数,在上是增函数,函数的递增区间为,,即已知函数在定义域的某个区间上为增函数,若对区间内的任意两个值且蒁, 示例3已知函数在上是减函数,:,,蕿 注意:,且,,且,可得不等式组即解得,:袆袅若在定义域是增函数,则当时,取得最小值当,,则当时,取得最大值,当,(3)已知函数,如果在上是单调递增(减)函数,在上是单调递减(增)函数,则在时取得最大(小)值,在或时取得最小(大)值,如下图4,:令,,,在上递减,但在上递增,在上为递增函数,当时,:研究函数最值时,先求定义域,:“”的不等式薁根据函数在某区间上的单调性及函数值的大小,可以求自变量的取值范围即已知函数在定义域内的某个区间上为增函数,若则;若已知函数在定义域内的某个区间上为减函数,蒈若则,就是增(减),且,:函数是上的减函数,且,虿,.袈函数的定义域和值域薃一、复合函数的定义域肄复合函数的定义域,是函数的定义域中, 示例1若函数的定义域为, 解:函数的定义域为,使得有意义的条件是莃,即,:这类型的题目简记为“对应法则相同,括号内的取值范围相同”.膀示例2已知的定义域为,:函数和中的并不是同一个量,若设,则变成,那么的取值范围才是函数的定义域,即“对应法则相同,括号内的取值范围相同”.肃解:的定义域为,,则,、:适用于初中所