蒈1平均值不等式及其证明袆 平均值不等式是最基本的重要不等式之一,在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法,这里,我们选了部分具有代表意义的证明方法,其中用来证明平均值不等式的许多结论,其本身又具有重要的意义,特别是,在许多竞赛的书籍中,都有专门的章节介绍和讨论,如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等,这些也是证明不等式的常用方法和技巧。莃平均值不等式螀一般地,假设为n个非负实数,它们的算术平均值记为蕿几何平均值记为羄。螂 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。蒀,莆即,莇当且仅当时,等号成立。芁 上述不等式称为平均值不等式,或简称为均值不等式。芀 平均值不等式的表达形式简单,容易记住,但它的证明和应用非常灵活、广泛,有多种不同的方法。为使大家理解和掌握,这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。(归纳法)羅当时,已知结论成立。羁假设对(正整数)时命题成立,即对有葿。薃那么,当时,由于莄,,蚁关于是对称的,任意对调与,和的值不改变,因此不妨设,芆显然,,得莈。肄从而,有膃证法二(归纳法)膂当时,已知结论成立。荿假设对(正整数)时命题成立,即对有莇。蚂那么,当时,由于羂从而,有膇证法三(归纳法)薅当时,已知结论成立。肂假设对(正整数)时命题成立,即对有葿。芈那么,当时,由于蚃证法四(归纳法和变换)蒁证法五(利用排序不等式)腿设两个实数组和满足艿,羆则(同序乘积之和)膅(乱序乘积之和)衿(反序乘积之和)肇其中是的一个排列,并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。膄证明:薄切比雪夫不等式(利用排序不等式证明)蚀杨森不等式(Young)设则对有膈等号成立的充分必要条件是。蒇琴生不等式(Jensen)肃设为上凸(或下凹)函数,则对任意莀,我们都有艿或薅其中蒃习题一膁设。求证:对一切正整数,有羇设求证:羇设为正实数,证明:袂设,求证:袁设,且,求证:肈设,满足,求证:肆设是非负实数,满足,求证:芁设为给定的自然数,,对于个给定的实数记的最小值为
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