借助向量解立体几何问题
知识要点
(其中
为向量
的夹角)。
一、求点到平面的距离
定义:一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即过这个点到平面垂线段的长度。
一般方法:利用定义先做出过这个点到平面的垂线段,再计算这个垂线段的长度。
P
B
A
向量法:
P
A
如图,已知点P(x0,y0,z0),
A(x1,y1,z1),平面
一个法向量
。
,其中
,
例1、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF的距离。
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
练习:
S
B
C
D
A
x
y
z
2. 直线到它平行平面的距离
定义:直线上任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离。
由定义可知,求直线到它平行平面的距离的问题可由点到平面距离的知识来解决。
3. 两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分,叫做这两个平面的公垂线段。
两个平行平面的公垂线段都相等,公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。
两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。
求两平行平面的距离,只要求一个平面上一点到另一个平面的距离,也就是求点到平面的距离。
二、求异面直线的距离
求异面直线距离的常用方法:
(1) 找出(或作出)公垂线,计算公垂线段的长度。
(2) 转化为求线面间的距离。
b
a
α
a//平面α
(3) 转化为求平行平面间的距离。
a
b
α
β
(2),(3)可进一步转化为点到平面的距离。
a//平面β, b//平面α
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