第二节相似矩阵
1、向量内积的概念
2、相似矩阵的概念与性质
3、矩阵的对角化
4、实对称矩阵的对角化
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湘潭大学数学与计算科学学院王文强
一、向量的内积
设有维向量
与的内积定义为:
1、向量的内积的定义及性质
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2
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(1)
(2)
(3)
(4)
当且仅当时等号成立.
内积的性质:
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3
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令
称为维向量的长度(或范数)
2、范数的定义及性质
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4
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长度具有下列性质:
(1)非负性:
等号成立当且仅当
(2)齐次性:
当时,称为单位向量.
显然当时, 是单位向量,称为把向量
单位化.
(3)三角不等式:
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向量的内积满足Cauchy-Schwarz不等式
或
非零向量的夹角定义为
当时,称向量与正交.
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(1) 正交的概念
(2) 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向
量组为正交向量组.
3、正交向量组的概念及求法
当时,称向量与正交.
注意:零向量与任何向量正交.
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4、向量空间的正交基
如果正交基中每个向量均是单位向量,则称为向量空间的正交规范基或标准正交基。
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正交向量组必定是线性无关组.
证设是两两正交的非零向量,
有使
上式两端左乘得
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9
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因为故
所以可得
因此线性无关.
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