5-3.4相似矩阵.ppt

相似矩阵的定义
相似矩阵的性质
利用相似变换将方阵对角化
第三节相似矩阵
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称为对A进行相似变换
设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似
其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。
对 A 进行运算
一、相似矩阵的概念
定义
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(1)自反性 A~A
(其中 k 是正整数)
(5)若A~B ,
(2)对称性若A~B,则B~A
(3)传递性若A~B,B~C,则A~C相似
是关于A 的多项式
二、相似矩阵的性质
奇徒遏雾伊为败率壶由滨雀帜邑茹桩雁人获堕村番勿窑瑰披称修滴疥卑腐5--
k个
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(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;
而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积,
(1)式左端就相当于对A施行一系列的初等
行变换和列变换,因而秩不变.
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(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则
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相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
证
这表明A与B
有相同特征值
设 A与B 相似,
推论
定理6
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特别地,若矩阵 A与对角阵Λ相似(P -¹AP = Λ),则
简化矩阵的计算
问题:
即如何将方阵 A 对角化
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三、矩阵的相似对角化的条件
P 的列向量是与A相似的对角阵中相应对角元素的特征向量
线性相关性?
A与对角阵相似 A有n个线性无关的特征向量
反之?
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关键是 P 可逆吗?
A 能否与对角阵相似取决于
A 能否有 n 个线性无关的特征向量
且相似变换阵 P
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