数值分析教案课件数值分析第4章数值积分.ppt

,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式求得定积分求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题,因为积分学涉及的实际问题极为广泛,而且极其复杂,在实际计算中经常遇到以下三种情况:(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x),例如:Newton-Leibnitz公式就无能为力了(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示,但表达式太复杂,例如函数并不复杂,但积分后其表达式却很复杂,积分后其原函数F(x)为:(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分,这就是数值积分的思想,用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图4-1所示,而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)图4-1数值积分的几何意义建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种:(1)由积分中值定理可知,对于连续函数f(x),在积分区间[a,b]内存在一点ξ,使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a),高为的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,因而的值也是未知的,称为f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法,相应地就获得一种数值求积方法三个求积分公式①梯形公式y=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2②中矩形公式按照这种思想,可构造出一些求积分值的近似公式。例如分别取和则分别得到中矩形公式和梯形公式。y=f(x)ababy=f(x)yab③Simpson公式(a+b)/2f()的近似值而获得的一种数值积分方法。中矩形公式把[a,b]的中点处函数值作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。ab(a+b)/2在这三个公式中,梯形公式把f(a),f(b)的加权平均值作为平均高度Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值似值而获得的一种数值积分方法。作为平均高度f()的近(2)先用某个简单函数近似逼近f(x),用代替原被积函数f(x),即以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将选取为插值多项式,这样f(x) 设已知f(x)在节点有函数值,作n次拉格朗日插值多项式式中这里多项式P(x)易于求积,所以可取作为的近似值,即其中称为求积系数。给出如下定义。,则称求积公式为插值求积公式。()