基于MATLAB科学计算—线性方程组.doc

蚈科学计算—理论、方法莈及其基于MATLAB的程序实现与分析莂三、解线性方程组(线性矩阵方程)螂解线性方程组是科学计算中最常见的问题。所说的“最常见”有两方面的含义:莇问题的本身是求解线性方程组;蒈许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。螃关于线性方程组膀(1)蒀其求解方法有两类:薇直接法:高斯消去法(GaussianElimination);膄间接法:各种迭代法(Iteration)。羂1、高斯消去法腿引例蚇考虑如下(梯形)线性方程组:薅莀高斯消去法的求解思路:把一般的线性方程组(1)化成(上或下)梯形的形式。羈2)高斯消去法——示例蚇考虑如下线性方程组:蚂肂第一个方程的两端乘加到第二个方程的两端,第一个方程的两端乘螇-1加到第三个方程的两端,得螇肃2) 第二个方程的两端乘加到第三个方程的两端,得蕿螀从上述方程组的第三个方程依此求解,得袇蒃3)高斯消去法的不足及其改进——高斯(全、列)主元素消去法芁在上例中,由于建模、计算等原因,,实际求解的方程组为薈羇注:数值稳定的算法袄高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取(列)主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素,高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。蝿列主元素消去法的基本思想:在每轮消元之前,选列主元素(绝对值最大的元素),:设已经完成第1步到第步的按列选主元、交换两行、消元计算,:对于,蒁(1)选列主元素,即确定使;莀(2)如果,则方程组解不唯一,或者接近奇异矩阵,停止运算;膆(3)如果,则交换第行与第行元素;蒂(4)消元计算:膃聿(5)回代计算:芆袃完全主元素消去法即是每次选主元时,依次按行、列选取绝对值最大的元素作为主元素,然后交换两行、两列,:设已经完成第1步到第步的选主元、交换行和列、消元计算,,:对于,莃(1)选主元素,即确定使;蚇(2)如果,则方程组解不唯一,或者接近奇异矩阵,停止运算;莆(3)如果,则交换第行与第行元素;如果,则交换第列与第列元素;蚅(4)消元计算:螁蚀(5)【注】完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法,但完全主元消去法解方程组,在选主元素时要化费较多的计算机时间,行主元消去法与列主元消去法运算量大体相同,实际计算时,,用不同的计算方法,,如果计算过程中舍入误差能得到控制,对计算结果影响较小,则称此算法是数值稳定的;否则,如果计算过程中舍入误差增长迅速,计算结果受舍入误差影响较大,,我们解数值问题时,应选择和使用数值稳定的算法,否则如果使用数值不稳定的算法,)高斯列主元素消去法的MATLAB实现:,:Hilbert矩阵:芇注:非奇异矩阵的条件数:蚆5)LU分解(LU Factorization)(高斯消去法、Doolittle分解)薃高斯消去法的消元过程,从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵左乘方程组的系数矩阵A,且乘积的结果为上三角矩阵,即蚂(2):利用A的第一行、第一列元素确定U的第一行、,膀,聿,袅得到莅,.()袂设已经计算出U的第1至r-1行元素,L的第1至r-1列元素,:利用A的第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、,有袅薂,芀得U的第r行元素为薇.()羅由羃,羂得薀.(),,,.,,)LU分解的MATLAB实现:或膀例莅A=rand(5);节[L,U,P]=lu(A)莁A=rand(5);罿[L,U,P]=lu(A)蒅L=P\L