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主成分分析专题 ponent Analysis(PCA)
2017/8/3
1
知识管理与数据分析实验室
原理
将原来众多具有一定相关性(比如 P 个指标),重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。

做法:选取方差最大的,作为第一个指标,因为方差越大包含的信息越多。依次找出替代原指标的主要指标。
1)对原始数据矩阵进行标准化处理 相当于对原始变量进行坐标平移与尺度伸缩:
求解步骤
2)求协方差矩阵Z
3) 计算特征值与特征向量:
相当于将原来的坐标轴进行旋转得到新的坐标轴
▲解特征方程,常用雅可比法(Jacobi)求出特征值,并使其按大小顺序排列;
▲分别求出对应于特征值的特征向量
,要求=1,即,其中表示向量的第j个分量。
­特征值表示新变量(主成分)方差的大小 ­得到的特征矢量的方差比前一个特征矢量的更小,也就是依次递减 ­特征矢量相互正交,即不相关
4) 计算主成分贡献率及累计贡献率
▲贡献率:
▲累计贡献率:
一般取累计贡献率达85—95%的特征值
所对应的第一、第二、…、第m(m≤p)个主成分。
5) 计算主成分载荷
6) 求主成分得分-新的变量值

Z阵的每一行相当于原数据矩阵的所有行(即原始变量构成的向量)在主成分坐标轴(载荷轴)上的投影,这些新的投影构成的向量就是主成分得分向量。
主成分分析方法应用实例
下面,我们根据下表给出的数据,对某农业生态经济系统做主成分分析。
某农业生态经济系统各区域单元的有关数据
步骤如下:(1)将上表中的数据作标准差标准化处理,然后计算相关系数矩阵(见下表)。
相关系数矩阵

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