2012-2013年高中常见题型解决方法归纳 专题06 函数单调性的判断、证明和单调区间的求法.doc

羁第06讲:函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法肇【考纲要求】薅理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。蚀【基础知识】蒁区间具有严格的单调性,区间叫做的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。螈3、判断证明函数单调性的一般方法:单调四法,导数定义复合图像莃(1)定义法羂用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设,且;②作差,求;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等);④判断的正负符号;⑤根据函数单调性的定义下结论。袀(2)复合函数分析法薈设,,都是单调函数,则在上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表:莄设在某个区间内有导数,若在区间内,总有,则在区间上为增函数(减函数)。肁(4)图像法艿一般通过已知条件作出函数图像的草图,如果函数的图像,在某个区间,从左到右,逐渐上升,则函数在这个区间是增函数;如果从左到右,是逐渐下降,则函数是减函数。芈4、求函数的单调区间:单调四法,导数定义复合图像蒆(1)定义法蒃(2)复合函数法虿先求函数的定义域,再分解复合函数,再判断每一个内层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。聿(3)导数法芃在其对称区间上的单调性相减,如函数。薁(2)在公共的定义域内,增函数+增函数是增函数,减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数,函数和函数都是增函数,但是它们的乘积函数不是增函数。膈(3)求函数的单调区间,必须先求函数的定义域,即遵循“函数问题定义域优先的原则”。蒅(4)单调区间必须用区间来表示,不能用集合或不等式,单调区间一般写成开区间,不必考虑端点问题。莄(5)在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接,只能用逗号隔开。蚀【方法讲评】薇芅证明函数在区间是增函数。莆解:设,肂芁羆函数在区间是增函数。:∵函数的定义域为{x|x∈R,且x≠0},设x1、x2≠0,且x1<x2,蚀f(x1)-f(x2)=x1+-x2-螆芄(1)当x1<x2≤-a或a≤x1<x2时,薃x1-x2<0,x1·x2>a2,肀∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),蒇∴f(x)在(-∞,-a]上和在[a,+∞)(2)当-a≤x1<x2<0或0<x1<x2≤a时,x1-x2<0,蚁0<x1·x2<a2,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),蕿∴f(x)在[-a,0)和(0,a],对定义域内的任意,都有,且当时,肄(1)求证是偶函数;(2)在上时增函数;(3)解不等式羈解:羇膅【变式演练2】已知是定义在区间上的奇函数,且,若时,有。(1)解不等式(2)若对所有恒成立,求实数的取值范围。膂例4已知函数莈(I)讨论函数的单调性;蚈(II),,求的取值范围。膆解:(Ⅰ)的定义域为(0,+∞)..芀当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;肁当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;蒈当-1<<0时,令=0,,>0;时,<,(Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而膈,肅等价于,①螁令,则羀①等价于在(0,+∞)单调减少,(-∞,-2].荿(Ⅰ)当时,讨论的单调性;莅(Ⅱ)设当时,若对任意,存在,使羃,,,求函数的单调区间与极值。蝿膆螁肆羄蚂螂葿莃+莂0蕿-薇0肇+膃蚁单调递增罿蒆单调递减袃蒈单调递增肈羅【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。薃【变式演练4】某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处,已知AB=20km,CB=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:莅①设∠BAO=(rad),将表示成的函数关系式;莄②设OP(km),(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,(1)求函数的单调区间;肄(2)已知若试确定的单调区间和单调性。莈解:(1)函数的定义域为,蚇设,膃在上分别是单调递减和单调递增的,在上是单调递减的,根据复合函数的单调性得函数在上分别单调递增、单调递减。袅(2)解法一:函数的定义域为R,莀分解基本函数为和。聿显然在上是单调递减的,上单调递增;袇而在上分别是单调递增和单调递减的。且,根据复合函数的单调性的规则:所以函数的单调增区间为;