构造直角三角形解题.doc

构造直角三角形解题韩玉海在解某些数学问题时,若能根据题意构造出直角三角形,则可利用直角三角形的性质,巧妙地将题目解出。下面举例说明。1、求线段长[例1]在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,∠D=90°,AB=2,CD=1。求BC和AD的长。解:延长AD、BC交于F,得Rt△ABF和Rt△CDF,且∠F=30°。在Rt△ABF中,由AB=2,∠F=30°得AF=2AB=4同理可得CF=2,DF=∴BC=BF-CF=,AD=AF-DF=4-。2、求角的度数[例2]如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=60°,D在AC的延长线上,AB=CD。求∠CBD。解:作AE⊥BC于E,连DE,在Rt△ABE中,BE=AE,在Rt△AEC中,所以。则AB=而AB=,故CE=CD∠1=∠2=∠ACB=30°又∠EAC=30°,所以DE=AE=BE所以∠CBD=∠3=∠1=15°3、证线段倍分[例3]如图,∠B=90°,∠1=∠2=60°,∠C=45°,求证:CD+BD=AB。证明:把△ABD绕AD翻转到△AB'D的位置,则B'D=BD,AB'=AB,∠B'=∠B=90o,∠2=∠3。由∠1+∠2+∠3=180°,知C、D、B'三点共线,故△AB'C为等腰直角三角形,从而有:CD+B'D=AB',∴CD+BD=AB。4、证不等[例4]如图,在△ABC中,BC>AC,AD、BE为高,求证:BC+AD>AC+BE。证明:由题意,在BC上取一点A',使A'C=AC,作A'D'⊥AC于D',A'F⊥BE于F,则四边形EFA'D'为矩形,得A'D'=FE又有Rt△A'D'C≌Rt△ADC,于是A'D'=AD∴BA'=BC-A'C=BC-ACBF=BE-FE=BE-A'D'=BE-AD在Rt△A'BF中,BA'>BF,即BC-AC>BE-AD∴BC+AD>AC+、解三角问题[例5]°的值。解:构造如图所示的Rt△ABC,°=6、解代数问题[例6]若a>3,求证:。证明:作出如图所示的Rt△ABC,由BD+AD>AB,得∴7、求最值[例7]若m、n、p为正实数,且,求:的最小值。解:构造如图所示的直角三角形,易知CD≤AE,即∴故的最小值为[例8]求的最小值。解:构造如图所示的Rt△PAC,Rt△PBD,使AC=1,BD=2,PC=x,CD=4,且PC、PD在直线L上,则所求最小值转化为“在直线L上求一点P,使PA+PB的值最小”,取A点关于L的对称点A',则有:原式=PA+PB≥A'B故的最小值是5。 更多精彩文章尽在扬州假日培训网!点击等着您!构造直角三角形解题山东省莱西市牛溪埠镇栾家寨中学秦显平山东省莱西市教育局教研室梁翠风在解决一些线段或角的数量关系问题时,根据已知图形的特征,可考虑构造直角三角形,以运用直角三角形的边角关系求解. ,D为等腰△ABC的底边BC的延长线上的任意一点. 求证AD2-AC2=DB·DC. 证明作AE⊥BC于E, ∵AB=AC,∴BE=EC. 根据勾股定理,有 AD2-AC2=(AE2+ED2)-(AE2+EC)2 =ED2-EC2 =(ED+EC)(ED-EC) =DB·CD. ,已知△ABC中,∠B=60°,∠C=75°,△ABC的面积为解作CD⊥AB于D, ∵∠B=60°, ∵∠A=180°-60°-75°=45°, 解得a=2,故选C, ,在四边形ABCD中,AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1, 且∠B=90°,求∠DAB的度数. 解连结AC,设AD=a,则 AB=BC=2a,CD=3a. ∵∠B=90°,且AB=BC, 又∵AC2+AD2=8a2+a2=9a2=CD2, ∴△CAD为直角三角形. 且∠CAD=90°, ∴∠BAD=90°+45°=135°. 例4如图4,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°. 解延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,易知 ,AD是△ABC的中线,∠BAD=α,∠CAD=β,∠ADC=γ. 证明分别从B、C向AD或AD延长线作垂线,垂足为E、△BED和Rt△CFD中, ∠BDE=∠CDF,BD=CD, ∴△BED≌△CFD, ∴AE-AF=2ED=2BEctgγ①而AE=BEctgα,AF=CFctgβ=BEctgβ,把它们都代入①,化简即得, ,已知P是正方形ABCD内的一点,且2BP2+AP2=∠APB=135°. 分析条件似乎很不够,可考虑用旋转,把△PBC绕B点逆时针旋转90°得△P'BA,则PB=P'B,∠P'BP=90°,∠P'PB=4